2. Resolva os problemas de valor inicial abaixo, (a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1. Resp: y = 3et + 2(t − 1)e2t. (b) ty′ + 2y = t2 − t + 1, y(1) = 1/2,...

(a) Para resolver este problema, podemos usar o método de fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante, que é dado por e^(-t). Multiplicando ambos os lados da equação por e^(-t), obtemos: e^(-t)y' - e^(-t)y = 2te^(t-2t) Agora, podemos escrever o lado esquerdo da equação como a derivada de (e^(-t)y): (e^(-t)y)' = 2te^(t-2t) Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos: e^(-t)y = ∫2te^(t-2t)dt = ∫2te^(-t)dt = -2te^(-t) - 2e^(-t) + C onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial y(0) = 1, podemos encontrar o valor de C: e^0 * 1 = -2 * 0 * e^0 - 2 * e^0 + C C = 3 Portanto, a solução do problema é dada por: e^(-t)y = -2te^(-t) - 2e^(-t) + 3 y = 3e^t + 2(t-1)e^(2t) (b) Novamente, podemos usar o método de fator integrante. O fator integrante é dado por e^(∫2/t dt) = e^(2ln|t|) = t^2. Multiplicando ambos os lados da equação por t^2, obtemos: t^3y' + 2t^2y = t^4 - t^3 + t^2 Agora, podemos escrever o lado esquerdo da equação como a derivada de (t^3y): (t^3y)' = t^4 - t^3 + t^2 Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos: t^3y = ∫(t^4 - t^3 + t^2)dt = t^5/5 - t^4/4 + t^3/3 + C onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial y(1) = 1/2, podemos encontrar o valor de C: 1^3 * 1/2 = 1/5 - 1/4 + 1/3 + C C = 11/60 Portanto, a solução do problema é dada por: t^3y = t^5/5 - t^4/4 + t^3/3 + 11/60 y = (t^2/5 - t/4 + 1/3 + 11/60t^(-2))/t (c) Novamente, podemos usar o método de fator integrante. O fator integrante é dado por e^(∫-2 dt) = e^(-2t). Multiplicando ambos os lados da equação por e^(-2t), obtemos: e^(-2t)y' - 2e^(-2t)y = e^(0*2t) Agora, podemos escrever o lado esquerdo da equação como a derivada de (e^(-2t)y): (e^(-2t)y)' = e^(0*2t) Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos: e^(-2t)y = ∫e^(0*2t)dt = t + C onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial y(0) = 2, podemos encontrar o valor de C: e^(0*2) * 2 = 0 + C C = 2 Portanto, a solução do problema é dada por: e^(-2t)y = t + 2 y = (t+2)e^(2t) (d) Novamente, podemos usar o método de fator integrante. O fator integrante é dado por e^(∫4t^(-1) dt) = e^(4ln|t|) = t^4. Multiplicando ambos os lados da equação por t^4, obtemos: t^7y' + 4t^6y = e^(-t)t^4 Agora, podemos escrever o lado esquerdo da equação como a derivada de (t^7y): (t^7y)' = e^(-t)t^4 Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos: t^7y = ∫e^(-t)t^4dt Podemos resolver esta integral por partes, usando u = t^4 e dv = e^(-t)dt: ∫e^(-t)t^4dt = -t^4e^(-t) + 4∫e^(-t)t^3dt = -t^4e^(-t) + 4(-t^3e^(-t) + 3∫e^(-t)t^2dt) = -t^4e^(-t) - 4t^3e^(-t) + 12(-t^2e^(-t) + 2∫e^(-t)t dt) = -t^4e^(-t) - 4t^3e^(-t) - 12t^2e^(-t) + 24(-te^(-t) + ∫e^(-t)dt) = -t^4e^(-t) - 4t^3e^(-t) - 12t^2e^(-t) - 24te^(-t) - e^(-t) + C onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial y(-1) = 0, podemos encontrar o valor de C: (-1)^7 * 0 = -(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 - 24(-1) - e^(-1) + C C = -1/e Portanto, a solução do problema é dada por: t^7y = -t^4e^(-t) - 4t^3e^(-t) - 12t^2e^(-t) - 24te^(-t) - e^(-t) - 1/e y = (-t^3e^(-t) - 4t^2e^(-t) - 12te^(-t) - e^(-t)/t^4 - 1/(et^7))