3. Resolva o problema de valor inicial y′ = 2y2 + xy2, y(0) = 1 e determine onde a solução atinge seu valor mínimo. Sugestão: Use o teste da primei...

Para resolver o problema de valor inicial y′ = 2y² + xy², y(0) = 1, podemos usar o método de separação de variáveis. Começamos separando as variáveis y e x em lados opostos da equação: y′/y² = 2 + x Em seguida, integramos ambos os lados da equação em relação a x: -1/y = 2x + (x²/2) + C Onde C é a constante de integração. Para determinar o valor de C, usamos a condição inicial y(0) = 1: -1/1 = 0 + 0 + C C = -1 Substituindo o valor de C na equação, temos: -1/y = 2x + (x²/2) - 1 Multiplicando ambos os lados por -1, temos: y = -1/((x²/2) + 2x - 1) Para determinar onde a solução atinge seu valor mínimo, podemos usar o teste da primeira e da segunda derivadas. A primeira derivada de y em relação a x é: y' = (2x + 2)/(x² + 4x - 2)² A segunda derivada de y em relação a x é: y'' = (2(x² + 6x - 4))/((x² + 4x - 2)³) Para determinar o ponto de mínimo, igualamos a primeira derivada a zero e resolvemos para x: 2x + 2 = 0 x = -1 Para verificar se este é um ponto de mínimo, podemos usar a segunda derivada. Como y''(-1) > 0, concluímos que x = -1 é um ponto de mínimo. Portanto, a solução atinge seu valor mínimo em x = -1 e y = -1/3.