Ache a solução do problema de valor inicial y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = α, y′(0) = 2. Ache o valor de α para que a solução tenda a zero quando t tend...

Para resolver esse problema, podemos começar encontrando as raízes da equação característica associada y'' - y' - 2y = 0. A equação característica é r^2 - r - 2 = 0, que pode ser fatorada como (r - 2)(r + 1) = 0. Portanto, as raízes são r = 2 e r = -1. A solução geral da equação diferencial homogênea associada é y(t) = c1e^(2t) + c2e^(-t), onde c1 e c2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. Agora, precisamos encontrar a solução particular que satisfaz as condições iniciais y(0) = α e y'(0) = 2. Podemos tentar uma solução da forma y(t) = Ae^(rt), onde A é uma constante a ser determinada e r é a raiz da equação característica associada. Se r = 2, temos y(t) = Ae^(2t), y'(t) = 2Ae^(2t), e y''(t) = 4Ae^(2t). Substituindo essas expressões na equação diferencial original, obtemos: 4Ae^(2t) - 2Ae^(2t) - 2Ae^(2t) = 0 Simplificando, temos 0 = 0, o que não nos ajuda a determinar A. Portanto, precisamos tentar outra solução particular. Se r = -1, temos y(t) = Ae^(-t), y'(t) = -Ae^(-t), e y''(t) = Ae^(-t). Substituindo essas expressões na equação diferencial original, obtemos: Ae^(-t) + Ae^(-t) - 2Ae^(-t) = 0 Simplificando, temos A = 0, o que não é uma solução útil. No entanto, podemos tentar uma solução da forma y(t) = At e ver se isso nos leva a uma solução válida. Se y(t) = At, y'(t) = A, e y''(t) = 0. Substituindo essas expressões na equação diferencial original, obtemos: 0 - A - 2At = 0 Simplificando, temos A = 0 ou A = -1/2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(t) = c1e^(2t) + c2e^(-t) - (1/2)t. Usando as condições iniciais y(0) = α e y'(0) = 2, podemos determinar as constantes c1 e c2: y(0) = c1 + c2 = α y'(0) = 2c1 - c2 - 1/2 = 2 Resolvendo esse sistema de equações, obtemos c1 = α/3 + 1/2 e c2 = 2/3 - α/3. Portanto, a solução particular é y(t) = (α/3 + 1/2)e^(2t) + (2/3 - α/3)e^(-t) - (1/2)t. Para que a solução tenda a zero quando t tende a infinito, precisamos que os termos exponenciais desapareçam. Isso ocorre quando α = -2. Portanto, a resposta é α = -2.