Ache a solução do problema de valor inicial 4y′′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = β. Ache o valor de β para que a solução tenda a zero quando t tende a i...

O problema de valor inicial dado é 4y′′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = β. Para encontrar o valor de β que faz com que a solução tenda a zero quando t tende a infinito, podemos usar a equação característica do problema, que é r² - 1/4 = 0. As raízes dessa equação são r = 1/2 e r = -1/2. Portanto, a solução geral do problema é y(t) = c1*e^(t/2) + c2*e^(-t/2), onde c1 e c2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. Usando a condição inicial y(0) = 2, temos: y(0) = c1 + c2 = 2 Usando a condição inicial y'(0) = β, temos: y'(t) = (c1/2)*e^(t/2) - (c2/2)*e^(-t/2) y'(0) = (c1/2) - (c2/2) = β Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = 2 + β/2 e c2 = 2 - β/2. Portanto, a solução do problema é: y(t) = (2 + β/2)*e^(t/2) + (2 - β/2)*e^(-t/2) Para que a solução tenda a zero quando t tende a infinito, precisamos que os termos exponenciais tendam a zero. Isso só acontece se β = -1. Portanto, o valor de β que faz com que a solução tenda a zero quando t tende a infinito é β = -1.