resolva-a satisfazendo a condiçao de contorno dy/dx = xy/x2−y2   y(1)=1

Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos começar reescrevendo a equação: dy/dx = xy/(x^2 - y^2) Agora, vamos separar as variáveis, colocando todos os termos com "y" de um lado e todos os termos com "x" do outro lado: (x^2 - y^2) dy = xy dx Agora, vamos integrar ambos os lados da equação: ∫(x^2 - y^2) dy = ∫xy dx Para integrar o lado esquerdo, podemos usar a substituição trigonométrica y = xtanθ. Isso nos dá dy = xsec^2θ dθ e y^2 = x^2tan^2θ. Substituindo essas expressões na integral, temos: ∫(x^2 - x^2tan^2θ) xsec^2θ dθ = ∫x^2tanθ xsec^2θ dx Simplificando a expressão, temos: ∫x^2(1 - tan^2θ) sec^2θ dθ = ∫x^2tanθ sec^2θ dx Simplificando ainda mais, temos: ∫x^2sec^2θ dθ = ∫x^2tanθ sec^2θ dx Agora, podemos integrar ambos os lados: (x^2tanθ) = (1/3)x^3 + C Agora, vamos substituir a condição de contorno y(1) = 1 na equação. Temos: 1 = (1/3) + C Simplificando, encontramos o valor de C: C = 2/3 Portanto, a solução da equação diferencial com a condição de contorno dada é: x^2tanθ = (1/3)x^3 + 2/3 Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.