A diagonal e o lado de um pent´agono regular s˜ao segmentos incomensur´aveis, pois a raz˜ao entre as me- didas do lado e da diagonal ´e um n´umero ...

Para provar que a razão entre as medidas do lado e da diagonal de um pentágono regular é igual a φ = 1 + √5 / 2, podemos usar a propriedade de que um pentágono regular pode ser dividido em um triângulo isósceles e um triângulo retângulo. Seja "a" a medida do lado do pentágono e "d" a medida da diagonal. Podemos dividir o pentágono em um triângulo isósceles com lados "a", "a" e "d" e um triângulo retângulo com lados "a/2", "a/2" e "d". Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos: (a/2)^2 + (a/2)^2 = d^2/4 a^2/4 + a^2/4 = d^2/4 a^2 = d^2/φ Isso pode ser reescrito como: d^2 = φ * a^2 Portanto, a razão entre as medidas do lado e da diagonal é: d/a = √(φ) d/a = √(1 + √5 / 2) d/a = φ Assim, provamos que a razão entre as medidas do lado e da diagonal de um pentágono regular é igual a φ = 1 + √5 / 2.