Exerćıcio 1. A distribuição conjunta de duas variáveis discretas X,Y é dada pela seguinte tabela: X \ Y −1 0 2 −1 0 1/6 1/12 0 1/6 0 1/12 1 1/...

1. Para encontrar a distribuição de Z = 2X + Y, podemos usar a fórmula de probabilidade marginal. Primeiro, vamos criar uma tabela para Z: Z | Probabilidade --|------------- -3| 0 -2| 1/6 -1| 1/6 0 | 1/4 1 | 1/3 2 | 1/12 Para encontrar a probabilidade de cada valor de Z, basta somar as probabilidades dos valores de X e Y que satisfazem a equação Z = 2X + Y. Por exemplo, para Z = -2, temos: P(Z = -2) = P(X = -1, Y = 0) = 1/6 Fazendo isso para todos os valores de Z, obtemos a tabela acima. 2. Para encontrar as distribuições marginais de X e Y, basta somar as probabilidades das respectivas linhas e colunas da tabela dada. Temos: Distribuição marginal de X: X | Probabilidade --|------------- -1| 1/4 0 | 1/3 1 | 7/12 Distribuição marginal de Y: Y | Probabilidade --|------------- -1| 1/6 0 | 1/3 2 | 1/2 Para verificar se X e Y são independentes, podemos calcular as probabilidades conjuntas de X e Y e compará-las com as distribuições marginais. Se X e Y forem independentes, as probabilidades conjuntas serão iguais ao produto das probabilidades marginais. Por exemplo, para X = -1 e Y = 0, temos: P(X = -1, Y = 0) = 1/6 P(X = -1) * P(Y = 0) = (1/4) * (1/3) = 1/12 Como esses valores são diferentes, concluímos que X e Y não são independentes. 3. Para encontrar a distribuição de E(X|Y), podemos usar a fórmula de probabilidade condicional: E(X|Y) = Σx P(X = x|Y) * x Para cada valor de Y, podemos calcular a probabilidade condicional de X usando a fórmula de Bayes: P(X = x|Y = y) = P(X = x, Y = y) / P(Y = y) Por exemplo, para Y = 0, temos: P(X = -1|Y = 0) = P(X = -1, Y = 0) / P(Y = 0) = (1/6) / (1/3) = 1/2 P(X = 0|Y = 0) = P(X = 0, Y = 0) / P(Y = 0) = (1/6) / (1/3) = 1/2 P(X = 1|Y = 0) = P(X = 1, Y = 0) / P(Y = 0) = 0 Portanto, para Y = 0, temos: E(X|Y = 0) = (1/2) * (-1) + (1/2) * 0 = -1/2 Fazendo isso para todos os valores de Y, obtemos a distribuição de E(X|Y): Y | E(X|Y) --|------ -1| -1/2 0 | -1/2 2 | 5/6 4. Para encontrar a distribuição condicional de X dado Y = 2, podemos usar a fórmula de probabilidade condicional: P(X = x|Y = 2) = P(X = x, Y = 2) / P(Y = 2) Para Y = 2, temos: P(X = -1, Y = 2) = 1/12 P(X = 0, Y = 2) = 1/12 P(X = 1, Y = 2) = 1/6 P(Y = 2) = 1/2 Portanto, para Y = 2, temos: P(X = -1|Y = 2) = (1/12) / (1/2) = 1/6 P(X = 0|Y = 2) = (1/12) / (1/2) = 1/6 P(X = 1|Y = 2) = (1/6) / (1/2) = 1/3 Fazendo isso para todos os valores de X, obtemos a distribuição condicional de X dado Y = 2: X | P(X|Y = 2) --|---------- -1| 1/6 0 | 1/6 1 | 1/3 5. Para encontrar a distribuição de Var(X|Y), podemos usar a fórmula de variância condicional: Var(X|Y) = E(X^2|Y) - [E(X|Y)]^2 Para cada valor de Y, podemos calcular E(X^2|Y) usando a fórmula de probabilidade condicional: E(X^2|Y) = Σx P(X = x|Y) * x^2 Por exemplo, para Y = 0, temos: E(X^2|Y = 0) = (1/2) * (-1)^2 + (1/2) * 0^2 = 1/2 E(X|Y = 0) = -1/2 (encontrado na questão 3) Portanto, para Y = 0, temos: Var(X|Y = 0) = E(X^2|Y = 0) - [E(X|Y = 0)]^2 = 1/2 - (-1/2)^2 = 3/4 Fazendo isso para todos os valores de Y, obtemos a distribuição de Var(X|Y): Y | Var(X|Y) --|--------- -1| 1/2 0 | 3/4 2 | 1/18