Exerćıcio 1. A distribuição (densidade) conjunta de X e Y é: f(x, y) = aye−yxe−y, 0 < x <∞, 0 < y <∞. Para que f(x, y) seja realmente a densida...

Para que f(x, y) seja realmente a densidade, é necessário que a integral dupla de f(x, y) em todo o espaço seja igual a 1. Assim, temos: 1 = ∫∫f(x, y)dxdy 1 = ∫∫aye^(-yx)e^(-y)dxdy 1 = a∫∫ye^(-y(x+1))dxdy 1 = a∫0^∞∫0^∞ye^(-y(x+1))dxdy 1 = a∫0^∞[-ye^(-y(x+1))/(x+1)]_0^∞ dy 1 = a∫0^∞(1/(x+1))dy 1 = a[ln(x+1)]_0^∞ 1 = a ln(∞) 1 = a.∞ Logo, a = 0. Para calcular E[X|Y = y], podemos utilizar a definição de esperança condicional: E[X|Y = y] = ∫xf(x|y)dx / ∫f(x|y)dx Onde f(x|y) é a distribuição condicional de X dado Y = y. Podemos encontrar f(x|y) utilizando a definição de probabilidade condicional: f(x|y) = f(x,y) / f(y) Onde f(y) é a distribuição marginal de Y. Temos: f(y) = ∫f(x,y)dx f(y) = ∫aye^(-yx)e^(-y)dx f(y) = a∫ye^(-yx)e^(-y)dx f(y) = a[-e^(-yx)]_0^∞ f(y) = a Logo, f(x|y) = f(x,y) / f(y) = (aye^(-yx)e^(-y)) / a = ye^(-yx)e^(-y) Assim, temos: E[X|Y = y] = ∫xf(x|y)dx / ∫f(x|y)dx E[X|Y = y] = ∫x(ye^(-yx)e^(-y))dx / ∫(ye^(-yx)e^(-y))dx E[X|Y = y] = y∫xe^(-yx)dx / ∫e^(-yx)dx E[X|Y = y] = y[-(x/y)e^(-yx)]_0^∞ / [-e^(-yx)/y]_0^∞ E[X|Y = y] = y[0 - (0/y)] / (0 - (-1/y)) E[X|Y = y] = y Portanto, E[X|Y = y] = y.