Sejam X e Y variáveis cont́ınuas com distribuição conjunta f(x, y) f(x, y) = e−(x+y), 0 < x <∞, 0 < y <∞. 1. Achar P (0 ≤ X ≤ 2). 2. Achar P (0 ...

1. Para encontrar P(0 ≤ X ≤ 2), precisamos integrar a função de densidade de probabilidade f(x, y) em relação a y no intervalo de 0 a infinito e em relação a x no intervalo de 0 a 2. Assim, temos: P(0 ≤ X ≤ 2) = ∫ de 0 até 2 ∫ de 0 até infinito e^(-x-y) dy dx Resolvendo a integral, temos: P(0 ≤ X ≤ 2) = 1 - e^(-2) ≈ 0,865 2. Para encontrar P(0 ≤ X + Y ≤ 2), podemos utilizar a transformação de variáveis U = X + Y e V = Y. A função de densidade de probabilidade conjunta de U e V é dada por: f(u, v) = f(x, y) * |J|, onde |J| é o determinante da matriz jacobiana da transformação. Calculando o determinante da matriz jacobiana, temos |J| = 1. Assim, temos: f(u, v) = e^(-u), 0 < u < ∞, 0 < v < u Para encontrar P(0 ≤ X + Y ≤ 2), precisamos integrar a função de densidade de probabilidade f(u, v) em relação a v no intervalo de 0 a u e em relação a u no intervalo de 0 a 2. Assim, temos: P(0 ≤ X + Y ≤ 2) = ∫ de 0 até 2 ∫ de 0 até u e^(-u) dv du Resolvendo a integral, temos: P(0 ≤ X + Y ≤ 2) = 1 - e^(-2) - 2e^(-2) ≈ 0,594 3. Para encontrar a distribuição de E(X|Y), precisamos primeiro encontrar a distribuição condicional de X dado Y. Como X e Y são independentes, temos: f(x|y) = f(x,y) / f(y) = e^(-x-y) / e^(-y) = e^(-x) Assim, a distribuição condicional de X dado Y é uma distribuição exponencial com parâmetro 1. Para encontrar a distribuição de E(X|Y), precisamos encontrar a esperança condicional de X dado Y. Como a distribuição condicional de X dado Y é exponencial, temos: E(X|Y) = 1 / λ = 1 Portanto, a distribuição de E(X|Y) é uma distribuição degenerada em 1.