7. Encontre em forma expĺıcita a solução dos PVIs dados e determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida:...

a) Para resolver este PVI, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Temos: y′ = (1− 2x)y² y′/y² = 1− 2x Integrando ambos os lados, temos: -1/y = x - x² + C Aplicando a condição inicial y(0) = -1/6, temos: -6 = C Portanto, a solução do PVI é: y(x) = -1 / (6x - 6x² - 1) O intervalo de definição da solução é (-∞, 1/3) U (1/3, ∞). b) Para resolver este PVI, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Temos: y′ = (1− 2x)/y y dy = (1− 2x) dx Integrando ambos os lados, temos: y²/2 - y(1) = x - x²/2 - x y²/2 + x²/2 - y = -1 Portanto, a solução do PVI é: y(x) = sqrt(2x² - 2x - 1) O intervalo de definição da solução é [1/2 - sqrt(2)/2, 1/2 + sqrt(2)/2]. c) Para resolver este PVI, podemos utilizar o fato de que a equação é exata. Temos: M(x,y) = x N(x,y) = e^(-x) My = 0 e Nx = -e^(-x) Portanto, a equação é exata. Podemos encontrar uma função potencial F(x,y) tal que Fx = M e Fy = N. Integrando M em relação a x, temos: F(x,y) = x²/2 + g(y) Derivando F em relação a y e igualando a N, temos: g'(y) = -e^(-x) Integrando g'(y), temos: g(y) = -e^(-x) + C Aplicando a condição inicial y(0) = 1, temos: C = 2 Portanto, a solução do PVI é: x²/2 - e^(-x) + 2 = 0 O intervalo de definição da solução é (-∞, ∞).