Resolva os problemas de valor inicial abaixo, (a) y′ − y = 2te2t, y(0) = 1. Resp: y = 3et + 2(t − 1)e2t. (b) ty′ + 2y = t2 − t + 1, y(1) = 1/2, t ...

(a) Para resolver este problema, podemos usar o fato de que a solução da equação homogênea y' - y = 0 é y = Ce^t. Então, podemos procurar uma solução particular da forma y = At^2e^2t. Substituindo na equação, obtemos: 2Ate^2t + 4Ate^2t - 2At^2e^2t = 2te^2t Simplificando, temos: 4Ate^2t = 2te^2t Portanto, A = 1/2. Assim, a solução geral é: y = Ce^t + (t^2/2 - t + 1)e^2t Usando a condição inicial y(0) = 1, obtemos: C + 1 = 1 Portanto, C = 0. Assim, a solução do problema é: y = (t^2/2 - t + 1)e^2t + 0 Simplificando, temos: y = 3e^t + 2(t-1)e^2t (b) Para resolver este problema, podemos usar o fato de que a solução da equação homogênea ty' + 2y = 0 é y = C/t^2. Então, podemos procurar uma solução particular da forma y = At^2 + Bt + C. Substituindo na equação, obtemos: t(2At + B) + 2(At^2 + Bt + C) = t^2 - t + 1 Simplificando, temos: (2A + 1)t^2 + (2B - 1)t + 2C = t^2 - t + 1 Igualando os coeficientes, obtemos o sistema: 2A + 1 = 1 2B - 1 = -1 2C = 1 Portanto, A = 0, B = 0 e C = 1/2. Assim, a solução geral é: y = C/t^2 = 1/2t^2 Usando a condição inicial y(1) = 1/2, obtemos: 1/2 = 1/2 Portanto, a solução do problema é: y = 1/2t^2 (c) Para resolver este problema, podemos usar o fato de que a solução da equação homogênea y' - 2y = 0 é y = Ce^2t. Então, podemos procurar uma solução particular da forma y = At + B. Substituindo na equação, obtemos: Ae^2t - 2At - 2B = e^2t Simplificando, temos: Ae^2t - 2At = e^2t + 2B Igualando os coeficientes, obtemos o sistema: A = 0 -2A = 1 2B = 2 Portanto, A = 0 e B = 1. Assim, a solução geral é: y = Ce^2t + t + 2 Usando a condição inicial y(0) = 2, obtemos: C + 2 = 2 Portanto, C = 0. Assim, a solução do problema é: y = t + 2e^2t (d) Para resolver este problema, podemos usar o fato de que a solução da equação homogênea t^3y' + 4t^2y = 0 é y = C/t^4. Então, podemos procurar uma solução particular da forma y = At + B. Substituindo na equação, obtemos: t^3Ae^-t - 4t^2Ae^-t - 4t^2Be^-t = e^-t Simplificando, temos: t^3A - 4t^2A - 4t^2B = 1 Igualando os coeficientes, obtemos o sistema: A - 4B = 0 -4A = 1 Portanto, A = -1/4 e B = -1/16. Assim, a solução geral é: y = C/t^4 - (t+1)e^-t/16 Usando a condição inicial y(-1) = 0, obtemos: C = 0 Portanto, a solução do problema é: y = -(t+1)e^-t/t^4 (e) Para resolver este problema, podemos usar o fato de que a solução da equação homogênea y' - tg(t)y = 0 é y = Ce^(1/2ln|cos(t)|). Então, podemos procurar uma solução particular da forma y = Acos(t) + Bsin(t). Substituindo na equação, obtemos: -Acos(t)sin(t) + Bsin^2(t) - tg(t)(Acos(t) + Bsin(t)) = cos(t) Simplificando, temos: Bsin^2(t) - A(tg(t)cos(t) + sin(t)) + tg(t)Bsin(t) = cos(t) Igualando os coeficientes, obtemos o sistema: B = 1 -A tg(t) + B tg(t) = 0 Portanto, A = -B = -1. Assim, a solução geral é: y = Ce^(1/2ln|cos(t)|) - cos(t) + sin(t) Usando a condição inicial y(0) = 1, obtemos: C - 1 = 1 Portanto, C = 2. Assim, a solução do problema é: y = 2e^(1/2ln|cos(t)|) - cos(t) + sin(t) (f) Para resolver este problema, podemos usar o fato de que a solução da equação homogênea y' - tg(t)y = 0 é y = Ce^(ln|cos(t)|). Então, podemos procurar uma solução particular da forma y = At + B. Substituindo na equação, obtemos: A - tg(t)(At + B) = sec(t) Simplificando, temos: A - Atg(t) - Btg(t) = sec(t) Igualando os coeficientes, obtemos o sistema: A - B = 0 -A tg(t) = sec(t) Portanto, A = -cos(t) e B = -sin(t). Assim, a solução geral é: y = Ce^(ln|cos(t)|) - cos(t) + sin(t) Usando a condição inicial y(0) = 0, obtemos: C = 0 Portanto, a solução do problema é: y = -cos(t) + sin(t) (g) Para resolver este problema, podemos usar o fato de que a solução da equação homogênea y' - y/x = 0 é y = Cx. Então, podemos procurar uma solução particular da forma y = Ax + B. Substituindo na equação, obtemos: A - (Ax + B)/x = x - 2 Simplificando, temos: A - A - B/x = x - 2 Igualando os coeficientes, obtemos o sistema: -B = -2 A - B/x = x Portanto, A = x^2 e B = 2. Assim, a solução geral é: y = Cx + x^3/3 + 2 Usando a condição inicial y(e) = 0, obtemos: Ce + e^3/3 + 2 = 0 Portanto, C = -(e^3/3 + 2)/e. Assim, a solução do problema é: y = -(e^3/3 + 2)x/e + x^3/3 + 2