8. Resolva o PVI y′ = (1 + 3x2)/ (3y2 − 6y), y(0) = 1, e determine o intervalo de validade da solução. Dica: para encontrar o intervalo de valida...

Para resolver o PVI y′ = (1 + 3x2)/ (3y2 − 6y), y(0) = 1, podemos seguir os seguintes passos: 1. Isolando y' na equação, temos: y' = (1 + 3x2)/ (3y2 − 6y) 2. Multiplicando ambos os lados por (3y2 - 6y), temos: (3y2 - 6y) y' = 1 + 3x2 3. Integrando ambos os lados em relação a x, temos: ∫(3y2 - 6y) dy = ∫(1 + 3x2) dx 4. Resolvendo as integrais, temos: y3 - 3y2 = x3 + x + C, onde C é a constante de integração. 5. Usando a condição inicial y(0) = 1, podemos encontrar o valor de C: 1 - 3 + C = 0, logo C = 2. 6. Substituindo C na equação, temos: y3 - 3y2 = x3 + x + 2. 7. Para determinar o intervalo de validade da solução, precisamos procurar pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical. Isso ocorre quando o denominador da equação original é igual a zero, ou seja, quando 3y2 - 6y = 0. Resolvendo essa equação, encontramos y = 0 e y = 2 como pontos críticos. 8. Portanto, a solução é válida no intervalo (−∞, 0) U (0, 2) U (2, ∞). Resumindo, a solução do PVI é y3 - 3y2 = x3 + x + 2, e o intervalo de validade da solução é (−∞, 0) U (0, 2) U (2, ∞).