12. Resolva o PVI e determine, pelo menos aproximadamente, em que intervalo a solução é válida. 2x− y + (2y − x)y′ = 0, y(1) = 3.

Para resolver esse problema de valor inicial (PVI), podemos utilizar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos reescrever a equação na forma: (2y - x) dy/dx = y - 2x Agora, vamos separar as variáveis, colocando todos os termos com "y" de um lado e todos os termos com "x" do outro: (2y - x) dy = (y - 2x) dx Vamos integrar ambos os lados da equação: ∫(2y - x) dy = ∫(y - 2x) dx y^2 - xy = (1/2)y^2 - 2x^2 + C onde C é a constante de integração. Agora, vamos usar a condição inicial y(1) = 3 para encontrar o valor de C: 3^2 - 1(3) = (1/2)3^2 - 2(1)^2 + C C = 5 Substituindo C na equação, temos: y^2 - xy = (1/2)y^2 - 2x^2 + 5 Simplificando, temos: (1/2)y^2 - xy + 2x^2 = 5 Podemos usar essa equação para determinar a solução do PVI. No entanto, não é possível determinar exatamente em que intervalo a solução é válida sem mais informações.