11. Verifique se cada uma das EDOs a seguir é exata. Se for, encontre a solução. a) 2x+ 3 + (2y − 2)y′ = 0; b) 2x+ 4y + (2x− 2y)y′ = 0.

a) Para verificar se a EDO é exata, precisamos verificar se a condição de exatidão é satisfeita. A condição é dada por: ∂Q/∂x = ∂P/∂y Onde P e Q são as funções que multiplicam dx e dy, respectivamente. No caso da EDO a), temos: P(x,y) = 2x + 3 Q(x,y) = (2y - 2) Calculando as derivadas parciais, temos: ∂Q/∂x = 0 ∂P/∂y = 2 Como as derivadas parciais não são iguais, a EDO não é exata. b) Para a EDO b), temos: P(x,y) = 2x + 4y Q(x,y) = (2x - 2y) Calculando as derivadas parciais, temos: ∂Q/∂x = 2 ∂P/∂y = 4 Como as derivadas parciais são iguais, a EDO é exata. Para encontrar a solução, precisamos encontrar uma função f(x,y) tal que: ∂f/∂x = P(x,y) ∂f/∂y = Q(x,y) Integrando a primeira equação em relação a x, temos: f(x,y) = x^2 + 4xy + g(y) Agora, derivando f(x,y) em relação a y e igualando a Q(x,y), temos: ∂f/∂y = 4x + g'(y) = 2x - 2y Igualando as partes que dependem de y, temos: g'(y) = -2y Integrando em relação a y, temos: g(y) = -y^2 + C Substituindo g(y) na expressão de f(x,y), temos: f(x,y) = x^2 + 4xy - y^2 + C Portanto, a solução da EDO b) é dada por: x^2 + 4xy - y^2 = C