14. Mostre que a equação dada não é exata, mas trona-se exata quando multiplicada pelo fator inte- grante dado. Depois resolva a equação. x2y...

Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de x de x^2y^3 é igual à derivada parcial de y de x(1+y^2). Temos: ∂/∂x (x^2y^3) = 2xy^3 ∂/∂y (x(1+y^2)) = x(2y) Como 2xy^3 ≠ 2xy, a equação não é exata. Para torná-la exata, precisamos multiplicar a equação por um fator integrante µ(x,y). O fator integrante é dado por: µ(x,y) = e^(∫(1/xy^3)dx) = e^(ln|x|/y^3) = x/y^3 Multiplicando a equação original por µ(x,y), temos: x^3y^(-3) * x^2y^3 + x^2y^(-2) * x(1+y^2)y' = 0 Simplificando, temos: x^3 + x^3y^(-2) + 2x^3yy' = 0 Agora, precisamos resolver a equação diferencial. Isolando y', temos: y' = -1/(2xy) - 1/(2xy^3) Podemos reescrever a equação como: y' = -1/(2x) * (1 + 1/y^2) Integrando ambos os lados em relação a y, temos: ln|y| = -1/2 ln|x| - 1/2 arctan(y) + C Resolvendo para y, temos: y = ± (C/x) * sqrt(x^2 - 1) Portanto, a solução geral da equação diferencial é: x^2y^3 + x(1+y^2)y' = 0 y = ± (C/x) * sqrt(x^2 - 1)