13. Encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois resolva usando esse valor de b. (xy2 + bx2y) + (x+ y)x2y′ = 0.

Para que a equação seja exata, as derivadas parciais em relação a x e y devem ser iguais. Assim, temos: ∂/∂x(xy² + bx²y) = y² + 2bxy ∂/∂y(x²y + xy²) = x² + 2xy Igualando as duas expressões, temos: y² + 2bxy = x² + 2xy 2bxy - 2xy = x² - y² 2xy(b-1) = (x+y)(x-y) Para que a equação seja exata, a expressão entre parênteses deve ser igual a zero. Assim, temos: x + y = 0 ou b = 1 Se b = 1, a equação fica: (xy² + x²y) + (x+y)x²y′ = 0 Podemos reescrever a equação como: xy(y + x²y′) + x²y(y′ + 1) = 0 Dividindo ambos os lados por xy², temos: y + x²y′ + xy′ + 1 = 0 Simplificando, temos: y′(x² + x) = -y - 1 y′ = -(y + 1)/(x² + x) Podemos integrar ambos os lados em relação a y: ln|y + 1| = -ln|x| - ln|x+1| + C Simplificando, temos: ln|y + 1| = ln|1/(x(x+1))| + C |y + 1| = e^C/|x(x+1)| y = -1 ± e^C/|x(x+1)| - 1 Assim, a solução geral da equação é: xy² + x²y = C, onde C é uma constante.