4.(Caṕıtulo 6) Mostre, usando razões e fórmulas trigonométricas, a seguinte igualdade: 1 1 + sen(x) + 1 1− sen(x) = 2 cos2(x)

Para mostrar que 1 + sen(x) + 1/(1 - sen(x)) = 2cos²(x), podemos começar com o lado esquerdo da equação e manipulá-lo usando identidades trigonométricas. 1 + sen(x) + 1/(1 - sen(x)) Podemos multiplicar o numerador e o denominador da última fração por (1 + sen(x)) para obter um denominador comum: 1 + sen(x) + (1 + sen(x))/(1 - sen²(x)) Usando a identidade trigonométrica fundamental 1 - sen²(x) = cos²(x), podemos simplificar a expressão: 1 + sen(x) + (1 + sen(x))/cos²(x) Agora, podemos combinar os dois primeiros termos usando a identidade trigonométrica fundamental cos²(x) + sen²(x) = 1: cos²(x) + sen(x)cos²(x)/cos²(x) + 1/cos²(x) Simplificando, obtemos: cos²(x) + sen(x) + 1/cos²(x) Usando a identidade trigonométrica fundamental sec²(x) = 1/cos²(x), podemos substituir 1/cos²(x) por sec²(x): cos²(x) + sen(x) + sec²(x) Usando a identidade trigonométrica fundamental 1 + tan²(x) = sec²(x), podemos substituir sec²(x) por 1 + tan²(x): cos²(x) + sen(x) + 1 + tan²(x) Finalmente, podemos usar a identidade trigonométrica fundamental cos²(x) = 1 - sen²(x) para substituir cos²(x) por 1 - sen²(x): 1 - sen²(x) + sen(x) + 1 + tan²(x) Agrupando os termos, obtemos: 2 + tan²(x) - sen²(x) Usando a identidade trigonométrica fundamental 1 + tan²(x) = sec²(x) e 1 - sen²(x) = cos²(x), podemos substituir tan²(x) por sec²(x) - 1 e sen²(x) por 1 - cos²(x): 2 + sec²(x) - 1 - (1 - cos²(x)) Simplificando, obtemos: 2cos²(x) Portanto, mostramos que 1 + sen(x) + 1/(1 - sen(x)) = 2cos²(x).