Usando primero una sustitución adecuada, resuelva las integrales trigonométricas de potencias de seno y coseno a) ∫ x sen(x2) cos(x2) dx b) ∫ 1 ...

Para resolver as integrais trigonométricas de potências de seno e cosseno, podemos fazer algumas substituições adequadas. Vamos analisar cada uma das integrais propostas: a) ∫ x sen(x^2) cos(x^2) dx Podemos fazer a substituição u = x^2, então du = 2x dx. Substituindo na integral, temos: ∫ x sen(x^2) cos(x^2) dx = (1/2) ∫ sen(u) cos(u) du Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sen(2u) = 2sen(u)cos(u): (1/2) ∫ sen(u) cos(u) du = (1/4) ∫ sen(2u) du Integrando, temos: (1/4) ∫ sen(2u) du = -(1/4) cos(2u) + C Substituindo de volta u = x^2, temos: -(1/4) cos(2x^2) + C b) ∫ (1/x) sen^3(ln(x)) cos(ln(x)) dx Podemos fazer a substituição u = ln(x), então du = (1/x) dx. Substituindo na integral, temos: ∫ (1/x) sen^3(ln(x)) cos(ln(x)) dx = ∫ sen^3(u) cos(u) du Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sen^3(u) = (3/4)sen(u) - (1/4)sen(3u): ∫ sen^3(u) cos(u) du = (3/4) ∫ sen(u) cos(u) du - (1/4) ∫ sen(3u) cos(u) du Integrando, temos: (3/4) ∫ sen(u) cos(u) du - (1/4) ∫ sen(3u) cos(u) du = (3/4) (-cos^2(u)/2) - (1/4) (-cos^2(3u)/6) + C Substituindo de volta u = ln(x), temos: -(3/8) cos^2(ln(x)) - (1/24) cos^2(3ln(x)) + C c) ∫ 5√sen^2(3x+2) cos^5(3x+2) dx Nesta integral, podemos fazer a substituição u = 3x + 2, então du = 3 dx. Substituindo na integral, temos: ∫ 5√sen^2(3x+2) cos^5(3x+2) dx = (5/3) ∫ √sen^2(u) cos^5(u) du Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sen^2(u) = (1/2)(1 - cos(2u)): (5/3) ∫ √sen^2(u) cos^5(u) du = (5/3) ∫ √(1/2)(1 - cos(2u)) cos^5(u) du Podemos fazer uma nova substituição v = cos(u), então dv = -sen(u) du. Substituindo na integral, temos: (5/3) ∫ √(1/2)(1 - cos(2u)) cos^5(u) du = (5/3) ∫ √(1/2)(1 - v^2) v^5 (-1/v) dv Simplificando, temos: (5/3) ∫ -√(1/2)(v^5 - v^7) dv = -(5/3) ∫ √(1/2)(v^7 - v^5) dv Integrando, temos: -(5/3) ∫ √(1/2)(v^7 - v^5) dv = -(5/3) (√(1/2)(1/8)v^8 - √(1/2)(1/6)v^6) + C Substituindo de volta v = cos(u) e u = 3x + 2, temos: -(5/3) (√(1/2)(1/8)cos^8(3x + 2) - √(1/2)(1/6)cos^6(3x + 2)) + C d) ∫ e^x sen^2(e^x) cos^4(e^x) dx Nesta integral, podemos fazer a substituição u = e^x, então du = e^x dx. Substituindo na integral, temos: ∫ e^x sen^2(e^x) cos^4(e^x) dx = ∫ sen^2(u) cos^4(u) du Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sen^2(u) = (1/2)(1 - cos(2u)): ∫ sen^2(u) cos^4(u) du = ∫ (1/2)(1 - cos(2u)) cos^4(u) du Simplificando, temos: ∫ (1/2)(cos^4(u) - cos^6(u)) du = (1/2) ∫ (cos^4(u) - cos^6(u)) du Integrando, temos: (1/2) ∫ (cos^4(u) - cos^6(u)) du = (1/2) ((1/5)cos^5(u) - (1/7)cos^7(u)) + C Substituindo de volta u = e^x, temos: (1/2) ((1/5)cos^5(e^x) - (1/7)cos^7(e^x)) + C Espero que isso ajude! Lembre-se de sempre verificar as substituições adequadas e as identidades trigonométricas ao resolver integrais trigonométricas.