6.(Caṕıtulo 4) Considere a circunferência de centro O e raio 2 apresentada na figura. Sabe-se que: • Os pontos A, B, C e D pertencem à circunfer...

6.1 Para justificar que o triângulo [ABC] é um triângulo retângulo, podemos utilizar o fato de que [AC] é um diâmetro da circunferência. Isso significa que o ângulo BAC é um ângulo reto, pois ele está inscrito em uma semicircunferência. Além disso, como AB = AD, temos que o triângulo [ABD] é isósceles, o que implica que os ângulos BDA e BAD são iguais. Como o ângulo BAC é reto, a soma dos ângulos BDA e BAD é igual a 90 graus. Portanto, cada um desses ângulos mede 45 graus, o que implica que o triângulo [ABD] é um triângulo isósceles retângulo. Como AB = AD, temos que o ângulo ABD também mede 45 graus. Assim, o triângulo [ABC] é um triângulo retângulo em B. 6.2 Para calcular a área do quadrilátero [ABCD], podemos dividi-lo em dois triângulos: [ABC] e [ABD]. A área de cada um desses triângulos é dada por: Área([ABC]) = (1/2) * AB * BC * sen(α) Área([ABD]) = (1/2) * AB * BD * sen(45°) Como AB = AD, temos que BD = 2. Além disso, como [AC] é um diâmetro da circunferência, temos que BC = 2. Substituindo esses valores nas fórmulas acima, obtemos: Área([ABC]) = (1/2) * AB * 2 * sen(α) = AB * sen(α) Área([ABD]) = (1/2) * AB * 2 * sen(45°) = AB Assim, a área do quadrilátero [ABCD] é dada por: Área([ABCD]) = Área([ABC]) + Área([ABD]) = AB * sen(α) + AB = AB * (sen(α) + 1) Como AB = AD, temos que AB = 2cos(α). Substituindo esse valor na expressão acima, obtemos: Área([ABCD]) = 2cos(α) * (sen(α) + 1) = 2sen(α)cos(α) + 2cos(α) Portanto, a área do quadrilátero [ABCD] em função de α é dada por A(α) = 16sen(α)cos(α). 6.3 Se tg(θ) = 2√2, então podemos utilizar a relação fundamental da trigonometria para calcular os valores de seno e cosseno de θ: tg(θ) = sen(θ)/cos(θ) = 2√2 Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos: sen²(θ) = 8cos²(θ) Como sen²(θ) + cos²(θ) = 1, podemos substituir a expressão acima na relação fundamental da trigonometria para obter: 8cos²(θ) + cos²(θ) = 1 Simplificando, temos: cos²(θ) = 1/9 Como θ está no primeiro quadrante, temos que cos(θ) é positivo. Portanto, cos(θ) = 1/3. Substituindo esse valor na expressão para A(α), obtemos: A(θ) = 16sen(θ)cos(θ) = 16(2√2/3)(1/3) = 32/9