Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-01022020

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7 Prova de Matemática de 01/02/2020
7.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 1) O intervalo de números reais ]0 , 5] é resultado de qual das seguintes operações
entre conjuntos?
(A) R\]−∞, 0] (B) ]−∞, 5] ∩ [0,+∞[
(C) [−1, 5] ∩ [−1, 0[ (D) R+∩]−∞, 5]
Resolução:
R\]−∞, 0] =]0,+∞[ ]−∞, 5] ∩ [0,+∞[= [0, 5]
[−1, 5] ∩ [−1, 0[= [−1, 0[ R+∩]−∞, 5] =]0, 5]
A resposta certa é a (D).
2.(Caṕıtulo 1, 3 e 7) Os valores reais de x que satisfazem a inequação 2 |1− 2x| − 1 6 5 são:
(A) [−1, 2] (B) ∅
(C) [−2, 1] (D) R
Resolução:
2 |1− 2x| − 1 < 5⇔
{
2 (1− 2x)− 1 6 5 se 1− 2x > 0
−2 (1− 2x)− 1 6 5 se 1− 2x < 0 ⇔
{
−4x 6 4 se x 6 1
2
4x 6 8 se x > 1
2
⇔
{
x > −1 se x 6 1
2
x 6 2 se x > 1
2
⇔ −1 6 x 6 1
2
∨ 1
2
< x 6 2⇔ −1 6 x 6 2
A resposta certa é a (A).
3.(Caṕıtulo 3) Considere a equação x2 − x− 2 = 0. Qual das proposições seguintes é verda-
deira?
(A) A soma das ráızes da equação é igual a 0
(B) A soma das ráızes da equação é igual a 1
(C) O produto das ráızes da equação é igual a 2
(D) A soma das ráızes da equação é igual a −1
Resolução: Numa equação de segundo grau da forma x2 − Sx + P = 0, S representa a
soma das ráızes e P o produto das ráızes.
A resposta certa é a (B).
4.(Caṕıtulo 4) Se θ é o menor ângulo de um triângulo retângulo cujos lados têm comprimentos
3, 4 e 5 cent́ımetros, então o valor de sen(θ) é:
50
(A) 3
4
(B) 3
5
(C) 4
3
(D) 4
5
Resolução: O seno é menor que o cosseno porque θ < 45o. Como a hipotenusa mede 5
terá que ser 3
5
A resposta certa é a (B).
5.(Caṕıtulo 3) Um Clube Desportivo recebeu e525 pela venda de bilhetes, durante um dia.
Nesse dia o número de bilhetes vendidos para crianças foi o triplo do número de bilhetes ven-
didos para adultos. Os bilhetes para adulto custavam e2 e os bilhetes de criança 50 cêntimos.
Considerando que x designa o número de bilhetes vendidos para adultos e que y designa o
número de bilhetes vendidos para crianças, qual dos sistemas apresentados permite determinar
o número de bilhetes vendidos para adultos e o número de bilhetes vendidos para crianças nesse
dia?
(A)
{
y = 3x
2x+ 0, 5y = 525
(B)
{
x = 3y
2x+ 0, 5y = 525
(C)
{
x = 3y
x+ y = 525
(D)
{
y = 3x
x+ y = 525
Resolução:
y = 3x ⇐ no bilhetes para crianças é triplo do no de bilhetes para adultos
2x+ 0, 5y = 525⇐ receita resul tan te da venda
(2x = receita dos adultos; 0, 5y = receita das crianças)
A resposta certa é a (A).
6.(Caṕıtulo 4) Considere o triângulo representado na
figura.
Sabe-se que AB = 2 cm e AĈB = 30o. Sendo
α = BÂC a expressão que representa BC em função de
α é:
(A) cos(α) (B) 4sen(α)
(C) 6cod(α) (D) 6sen(α)
Resolução: Da figura resulta que:
sen (α) = h
2
⇔ h = 2sen (α)
sen 30o = 1
2
= h
BC
⇔ BC = 2h = 2× 2sen (α) = 4sen (α)
A resposta certa é a (B).
51
7.(Caṕıtulo 4) Considere a função real, de variável real, cuja
representação gráfica é a da figura.
Assinale qual das afirmações seguintes é falsa:
(A) A função é par (B) A função é periódica
(C) A função não é sobrejetiva (D) A função é cont́ınua
Resolução:
A função representada não é periódica porque o gráfico não se �repete�.
A resposta certa é a (B).
7.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 2 e 3) Pretende-se ampliar um jardim quadrado, ao
longo de 3 dos seus lados, construindo um passeio de largura cons-
tante e igual a 2 metros, ficando com uma área total de 63 metros
quadrados. Qual era a dimensão do jardim antes de ser ampliado?
Resolução: Representando por x o lado do quadrado inicial, o retângulo final terá largura
x+ 2 e comprimento x+ 4. Resulta assim:
(x+ 2)× (x+ 4) = 63⇔ x2 + 6x− 55 = 0⇔ x = −6±
√
36+220
2
⇔ x = 5∨ x = −11(imposśıvel).
As dimensões do jardim antes da ampliação eram 5 metros por 5 metros.
52
2.(Caṕıtulo 1) Usando, sempre que posśıvel, as regras operatórias das potências, determine
o valor de:
(−1)11+52×
1
3
2×
6
5
2
(23)2÷2−3×
3
2
9÷37
.
Resolução:
(−1)11+52×
1
3
2×
6
5
2
(23)2÷2−3×
3
2
9÷37
=
−1+
5× 6
3× 5
2
26÷2−3×
3
2
9÷37
=
−1+
6
3
2
29×
3
2
9÷37
=
−1+
6
3
2
29×
39
29
÷37
= −1+2
2
39÷37 =
−1+4
32
= 3
9
= 1
3
3.(Caṕıtulo 2 e 3) Considere o seguinte polinómio A(x) = (2− x)2(x2 − x− 2).
3.1 Determine o valor exato de A(
√
2). Apresente o resultado na forma simplificada. .
Resolução:
A(
√
2) = (2−
√
2)
2
((√
2
)2 −√2− 2) = (4− 4√2 + 2) (2−√2− 2) = (6− 4√2)× (−√2)
= −6
√
2 + 8
3.2 Determine todos os zeros de A(x) e indique as respetivas multiplicidades.
Resolução:
A(x) = 0⇔ (2− x)2 (x2 − x− 2) = 0⇔ (2− x)2 = 0 ∨ (x2 − x− 2) = 0
⇔ x = 2 ∨ x = 2 ∨ x = 1±
√
1+8
2
⇔ x = 2 ∨ x = 2 ∨ x = 2 ∨ x = −1⇒ x = 2 (ráız tripla); x = −1 (ráız simples)
3.3 Fatorize o polinómio A(x) (x2 − 1).
Resolução:
A(x) (x2 − 1) = (2− x)2 (x2 − x− 2) (x2 − 1) = (2− x)2 (x− 2)(x+ 1)(x− 1)(x+ 1) =
= (−(x− 2))2 (x− 2)(x+ 1)(x− 1)(x+ 1) = (−1)2 (x− 2)2 (x− 2)(x+ 1)(x− 1)(x+ 1) =
= (x− 2)3(x+ 1)2(x− 1).
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4.(Caṕıtulo 1 e 3) Determine o menor número inteiro que verifica simultaneamente as
condições:
1− 2 (1 + 3x)
3
< 2 ∧ − (2− x)2 6 x (2− x)
Resolução:
1− 2(1+3x)
3
< 2 ∧ − (2− x)2 6 x (2− x)⇔ 3− 2 (1 + 3x) < 6 ∧ − (4− 4x+ x2) 6 2x− x2
⇔ 3− 2− 6x < 6 ∧ −4 + 4x− x2 6 2x− x2 ⇔ −6x < 5 ∧ 4x− 2x 6 4⇔ x > −5
6
∧ 2x 6 4⇔
x > −5
6
∧ x 6 2
CS =]− 5
6
, 2]⇒Menor inteiro pertencente ao conjunto solução é o zero
5.(Caṕıtulo 4) Em relação à figura temos que:
CÂD = CB̂D = 30o, AC = 2 cm, BC = 4 cm,
AC ⊥ BC e AD ⊥ BD
Sendo o ponto E o ponto de interseção de [AD] com [BC].
5.1 Determine CE em cm.
5.2 Mostre que BD = 2
√
3− 1 cm.
Resolução:
5.1 Com base na representação a seguir indicada
verificamos que, para o triângulo retângulo [ACE] se tem:
tg (30o) =
√
3
3
= EC
2
⇔ EC = 2
√
3
3
cm
5.2 Os triângulos [ACE] e [BDE] são semelhantes porque são retângulos e além disso têm
um outro ângulo igual (30o).
Como EB = 4 − 2
√
3
3
e cos (30o) =
√
3
2
= 2
AE
⇔ AE = 4
√
3
3
, pela referida semelhança de
triângulos vem:
BD
2
=
4− 2
√
3
3
4
√
3
3
⇔ BD
2
= 12−2
√
3
4
√
3
⇔ BD = 12−2
√
3
2
√
3
⇔ BD = 6−
√
3√
3
54
⇔ BD = 6√
3
− 1⇔ BD = (2
√
3− 1) cm
6.(Caṕıtulo 4) Considere a circunferência de centro O e raio 2
apresentada na figura. Sabe-se que:
• Os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência;
• [AC] é um diâmetro da circunferência;
• AB = AD
• α é a amplitude do ângulo BAC, em radianos;
• α ∈
]
0, π
2
[
6.1 Justifique que o triângulo [ABC] é um triângulo retângulo.
Resolução: É retângulo em B porque o ângulo [ABC] é um ângulo inscrito e por isso
AB̂C =
_
ABC
2
= 180
o
2
= 90o
6.2 Mostre que a área do quadrilátero [ABCD] dada em função de α pela expressão:
A (α) = 16 sen (α) cos (α)
Resolução:
Area [ABC] = AB×BC
2
= 4 cos(α)×4sen(α)
2
porque
{
cos (α) = AB
4
sen (α) = BC
4
Area [ABCD] = 2× Area [ABC] = 4 cos (α)× 4sen (α) = 16 cos (α) sen (α)
6.3 Seja α ∈
]
0, π
2
[
tal que tg (θ) = 2
√
2. Determine o valor exato de A(θ).
Resolução:
1 + tg2 (θ) = 1
cos2(θ)
⇔ 1 +
(
2
√
2
)2
= 1
cos2(θ)
⇔ 9 = 1
cos2(θ)
⇔ cos2 (θ) = 1
9
; θ < 90o
⇔ cos (θ) = 1
3
sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1⇔ sen2 (θ) + 1
9
= 1⇔ sen2 (θ) = 8
9
; θ < 90o ⇔ sen (θ) = 2
√
2
3
A (θ) = 16× 2
√
2
3
× 1
3
= 32
√
2
9
u.a.
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7.(Caṕıtulo 5 e 7) Na figura está representado, em referencial o.n., parte do gráfico da função
f , de domı́nio R.
Indique:
7.1 O contradomı́nio de f .
Resolução: O contradomı́nio �vê-se� no eixo Oy: D′f = [−1,+∞[
7.2 O domı́nio da função h, definida por h(x) =
√
f(x)− 3.
Resolução:
Dh = {x ∈ R : f(x)− 3 > 0} = {x ∈ R : f(x) > 3} =]−∞,−3]
7.3 Os zeros da função g, definida por g(x) = f(x) + 1.
Resolução:
g(x) = 0⇔ f(x) + 1 = 0⇔ f(x) = −1⇔ x ∈ {−1} ∪ [3,+∞[
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	Prova de Matemática de 01/02/2020
	Grupo I
	Grupo II