Seja f open parentheses x close parentheses space equals space e to the power of x space cos open parentheses 2 x close parentheses Determine a int...

Para determinar a integral indefinida de f(x) = e^x cos(2x), podemos utilizar integração por partes. Começamos escolhendo u(x) e dv(x) da seguinte forma: u(x) = e^x (função exponencial) dv(x) = cos(2x) dx (função trigonométrica) Então, temos que: du(x)/dx = e^x v(x) = (1/2) sen(2x) Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ f(x) dx = u(x) v(x) - ∫ v(x) du(x)/dx dx ∫ f(x) dx = e^x (1/2) sen(2x) - ∫ (1/2) sen(2x) e^x dx Podemos aplicar integração por partes novamente na integral restante, escolhendo u(x) e dv(x) da seguinte forma: u(x) = (1/2) sen(2x) (função trigonométrica) dv(x) = e^x dx (função exponencial) Então, temos que: du(x)/dx = cos(2x) v(x) = e^x Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ f(x) dx = e^x (1/2) sen(2x) - [(1/2) e^x cos(2x) - (1/4) ∫ e^x sen(2x) dx] Podemos resolver a última integral utilizando integração por partes novamente, escolhendo u(x) e dv(x) da seguinte forma: u(x) = e^x (função exponencial) dv(x) = sen(2x) dx (função trigonométrica) Então, temos que: du(x)/dx = e^x v(x) = (-1/2) cos(2x) Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ f(x) dx = e^x (1/2) sen(2x) - [(1/2) e^x cos(2x) + (1/4) e^x sen(2x) - (1/8) ∫ e^x cos(2x) dx] Podemos resolver a última integral utilizando integração por partes novamente, escolhendo u(x) e dv(x) da seguinte forma: u(x) = e^x (função exponencial) dv(x) = cos(2x) dx (função trigonométrica) Então, temos que: du(x)/dx = e^x v(x) = (1/2) sen(2x) Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫ f(x) dx = e^x (1/2) sen(2x) - [(1/2) e^x cos(2x) + (1/4) e^x sen(2x) - (1/8) e^x cos(2x) + (1/16) ∫ e^x cos(2x) dx] Isolando a integral restante, temos: (15/16) ∫ e^x cos(2x) dx = e^x (1/2) sen(2x) - (1/2) e^x cos(2x) - (1/4) e^x sen(2x) Dividindo ambos os lados por (15/16), temos: ∫ e^x cos(2x) dx = (16/15) [e^x (1/2) sen(2x) - (1/2) e^x cos(2x) - (1/4) e^x sen(2x)] + C Portanto, a integral indefinida de f(x) = e^x cos(2x) é: ∫ f(x) dx = (16/15) [e^x (1/2) sen(2x) - (1/2) e^x cos(2x) - (1/4) e^x sen(2x)] + C, onde C é a constante de integração.