5. (FUVEST – 2014) Sejam  e  números reais com 2/2/   e  0 . Se o sistema de equações, dado em matricial              32 ...

Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar o método de eliminação de Gauss-Jordan. Após a aplicação desse método, obtemos a matriz escalonada reduzida: | 1 0 -cos(86°)tan(α) | 0 1 -cos(86°)tan(β) | 0 0 0 | Isso implica que: x - cos(86°)tan(α)z = 32 y - cos(86°)tan(β)z = 63 Podemos isolar z em uma das equações e substituir na outra, obtendo: x - cos(86°)tan(α)(63 - cos(86°)tan(β)z) = 32 Resolvendo para z, temos: z = (63 - cos(86°)tan(β)z - 32)/(cos(86°)tan(α)) z = (31 - cos(86°)tan(β)z)/(cos(86°)tan(α)) Multiplicando as duas equações, obtemos: z^2 = (31 - cos(86°)tan(β)z)/(cos(86°)tan(α)) * (63 - cos(86°)tan(β)z - 32)/(cos(86°)tan(α)) z^2 = (31 - cos(86°)tan(β)z)(31 + cos(86°)tan(β)z)/(cos^2(86°)tan(α)) z^2 = (31^2 - cos^2(86°)tan^2(β)z^2)/(cos^2(86°)tan^2(α)) z^2cos^2(86°)tan^2(α) = 31^2cos^2(86°) - cos^2(86°)tan^2(β)z^2 z^2(cos^2(86°)tan^2(α) + cos^2(86°)tan^2(β)) = 31^2cos^2(86°) z^2 = 31^2cos^2(86°)/(cos^2(86°)tan^2(α) + cos^2(86°)tan^2(β)) z^2 = 31^2/(tan^2(α) + tan^2(β)) z = ±31/sqrt(tan^2(α) + tan^2(β)) Como 2/π|α| << 1 e π|β| << 1, podemos aproximar tan(α) e tan(β) por seus argumentos, obtendo: z ≈ ±31/sqrt(α^2 + β^2) Assim, temos: αβ + z^2 = αβ + 31^2/(α^2 + β^2) Para minimizar αβ + z^2, devemos maximizar α^2 + β^2. Como 2/π|α| << 1 e π|β| << 1, podemos aproximar α^2 + β^2 por α^2, obtendo: αβ + z^2 ≈ α^2 + 31^2/α Para maximizar α^2 + 31^2/α, devemos derivar em relação a α e igualar a zero: d/dα (α^2 + 31^2/α) = 2α - 31^2/α^2 = 0 α^3 = 31^2/2 α = (31^2/2)^(1/3) Substituindo na expressão para z, temos: z ≈ ±31/sqrt((31^2/2)^(2/3) + β^2) Para maximizar z, devemos minimizar β^2. Como π|β| << 1, podemos aproximar β^2 por 0, obtendo: z ≈ ±31/(31^2/2)^(1/3) z ≈ ±2^(1/3)*31^(2/3) Assim, temos: αβ + z^2 ≈ (31^2/2)^(2/3) + 2^(2/3)*31^(4/3) αβ + z^2 ≈ 3*31^(2/3) Portanto, αβ + z^2 = 3*31^(2/3), e αβ + z^2 = 3^(1/3)*31^(2/3) + 31^(2/3) = 4*31^(2/3). Logo, αβ + z^2 = 3*31^(2/3) = 3π^2/2. Portanto, αβ + z^2 + π^2/4 = 3π^2/2 + π^2/4 = 7π^2/4. Assim, temos: αβ + z^2 + π^2/4 = 7π^2/4 αβ = 7π^2/4 - z^2 - π^2/4 αβ = 3π^2/2 - 2^(2/3)*31^(4/3) Portanto, αβ + z^2 = 3*31^(2/3) e αβ = 3π^2/2 - 2^(2/3)*31^(4/3). Somando as duas equações, obtemos: 2αβ + 3*31^(2/3) = 3π^2/2 αβ = (3π^2/2 - 3*31^(2/3))/2 αβ = (3/2)(π^2 - 2*31^(2/3)) Assim, temos: αβ + z^2 = 3*31^(2/3) (3/2)(π^2 - 2*31^(2/3)) + z^2 = 3*31^(2/3) z^2 = 3*31^(2/3) - (3/2)(π^2 - 2*31^(2/3)) z^2 = (9/2)31^(2/3) - (3/2)π^2 z = ±sqrt((9/2)31^(2/3) - (3/2)π^2) Portanto, βα + z^2 = (3/2)(π^2 - 2*31^(2/3)) + (9/2)31^(2/3) - (3/2)π^2 = 31^(2/3). Logo, βα + z^2 = 31^(2/3). Assim, temos: βα + z^2 = 31^(2/3) βα = 31^(2/3) - z^2 βα = 31^(2/3) - (9/2)31^(2/3) + (3/2)π^2 βα = (7/2)31^(2/3) - (3/2)π^2 Portanto, βα + z^2 = (7/2)31^(2/3) - (3/2)π^2 + (9/2)31^(2/3) - (3/2)π^2 = 8*31^(2/3) - 3π^2. Logo, βα + z^2 = 8*31^(2/3) - 3π^2. Assim, temos: βα + z^2 = 8*31^(2/3) - 3π^2 Portanto, βα + z^2 = 8*31^(2/3) - 3π^2. A resposta correta é a letra D).