9. (ITA) Seja C a circunferência dada pela equação x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a , b) é o ponto em C mais próximo da origem, então: a) 23 ...

Para encontrar o ponto P mais próximo da origem, precisamos minimizar a distância entre P e a origem. Isso é equivalente a minimizar a função d² = a² + b². Podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o mínimo de d² sujeito à restrição da circunferência. Definimos a função L(a, b, λ) = a² + b² + λ(x² + y² + 2x + 6y + 9), onde (x, y) = (-1, -3) é o centro da circunferência. Calculando as derivadas parciais de L e igualando a zero, obtemos o sistema de equações: 2a + 2λ(x+1) = 0 2b + 2λ(y+3) = 0 x² + y² + 2x + 6y + 9 = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos a = -1/5 e b = -3/5. Substituindo esses valores na alternativa (c), temos: 10a + b/3a = 10*(-1/5) + (-3/5)/(3*(-1/5)) = -2 + 1 = -1 Portanto, a alternativa correta é a letra (c).