(Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações (2x² + 2y² - 4x ≥ 0) e (3x - y + 1 ≥ 0). a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de eixo...

a) Para representar graficamente o sistema de inequações, podemos começar por desenhar as curvas que representam cada uma das inequações. A primeira inequação pode ser reescrita como: 2(x² - 2x + 1) + 2y² - 2 ≥ 0 2(x - 1)² + 2y² - 2 ≥ 0 (x - 1)² + y² ≥ 1 Essa inequação representa uma circunferência de raio 1 e centro em (1, 0). A segunda inequação pode ser reescrita como: y ≤ 3x + 1 Essa inequação representa uma reta com inclinação 3 e intercepto em y = 1. A solução do sistema de inequações é a região do plano que satisfaz ambas as inequações. Portanto, a solução é a região que está dentro da circunferência e abaixo da reta. Podemos representar essa região graficamente:  b) Para calcular a área da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações, podemos dividir a região em duas partes: a parte triangular abaixo da reta e a parte circular entre a reta e a circunferência. A área da parte triangular pode ser calculada como: A_triangular = (1/2) * base * altura A_triangular = (1/2) * (2/3) * (4/3) A_triangular = 4/9 A área da parte circular pode ser calculada como a diferença entre a área da circunferência e a área do setor circular que está fora da região: A_circular = π * 1² - (1/2) * 1 * (4/3) - (1/4) * π A_circular = π/4 - 2/3 Portanto, a área total da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações é: A_total = A_triangular + A_circular A_total = 4/9 + π/4 - 2/3 A_total ≈ 0,77