12. (Esc. Naval 2014) A área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY na figura abaixo,...

Para calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY, podemos utilizar a fórmula: A = 2π ∫a^b f(x) √(1 + [f'(x)]^2) dx Onde a e b são os limites de integração, f(x) é a função que descreve a curva gerada pela rotação do triângulo e f'(x) é a derivada de f(x). No caso do triângulo equilátero ABC, podemos descrever a curva gerada pela rotação como um círculo de raio R = AB = BC = AC. Assim, temos: f(x) = R f'(x) = 0 Substituindo na fórmula, temos: A = 2π ∫0^R R √(1 + 0^2) dx A = 2π ∫0^R R dx A = 2π R^2 Substituindo R = AB = BC = AC = 5√3, temos: A = 2π (5√3)^2 A = 2π (75) A = 150π Portanto, a área da superfície de revolução gerada pela rotação do triângulo equilátero ABC em torno do eixo XY é de 150π unidades de área. A alternativa correta é a letra E).