(Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações (2x - 2y)² + (2x - 3)² ≤ 1 e (3x - 1)(x - 1) - 2y ≤ 0. a) Represente graficamente, em sistema cart...

Para representar graficamente o sistema de inequações (2x - 2y)² + (2x - 3)² ≤ 1 e (3x - 1)(x - 1) - 2y ≤ 0, podemos seguir os seguintes passos: a) Primeiro, vamos analisar cada inequação separadamente. A primeira inequação é uma equação de uma circunferência de centro (1, 1/2) e raio 1. A segunda inequação é uma reta que divide o plano em duas regiões. Para encontrar a reta, podemos igualar a inequação a zero e resolver para y: (3x - 1)(x - 1) - 2y = 0 y = (3x - 1)(x - 1)/2 Agora, podemos plotar a circunferência e a reta no mesmo plano cartesiano:  A região que satisfaz ambas as inequações é a região sombreada em azul. b) Para calcular a área da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações, podemos dividir a região sombreada em duas partes: a parte superior, que é um setor circular, e a parte inferior, que é um trapézio. A área do setor circular pode ser calculada usando a fórmula A = (θ/360)πr², onde θ é o ângulo central do setor e r é o raio da circunferência. Como o ângulo central do setor é 120 graus (um terço de 360 graus), temos: A1 = (120/360)π(1)² = π/3 A área do trapézio pode ser calculada usando a fórmula A = (b1 + b2)h/2, onde b1 e b2 são as bases do trapézio e h é a altura. A base maior do trapézio é a distância entre as interseções da reta com a circunferência, que pode ser encontrada resolvendo a equação (3x - 1)(x - 1) - 2y = 0 para x: (3x - 1)(x - 1) - 2y = 0 3x² - 6x - 2y + 1 = 0 y = (3x² - 6x + 1)/2 Substituindo y na equação da circunferência, temos: (2x - 2(3x² - 6x + 1)/2)² + (2x - 3)² ≤ 1 -3x² + 8x - 3 ≤ 0 x ≤ (4 - √7)/3 ou x ≥ (4 + √7)/3 As bases do trapézio são as distâncias entre as interseções da reta com a circunferência e o eixo x. A altura do trapézio é a distância entre as interseções da reta com a circunferência e o eixo y. Podemos calcular essas distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) As interseções da reta com a circunferência têm coordenadas (0, 1/2) e (2/3, 0). Portanto, temos: b1 = d((0, 1/2), (2/3, 0)) = √(2/3) b2 = d((1, 0), (2/3, 0)) = 1/3 h = d((0, 1/2), (1, 0)) = √(5)/2 Substituindo na fórmula da área do trapézio, temos: A2 = (b1 + b2)h/2 = (√(2/3) + 1/3)√(5)/4 Portanto, a área total da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações é: A = A1 + A2 = π/3 + (√(2/3) + 1/3)√(5)/4