O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações...

A alternativa correta é a letra 19 - I, II e III. I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x². Essa afirmação é verdadeira, pois a substituição trigonométrica pode ser usada para resolver integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w. Essa afirmação também é verdadeira, pois a substituição trigonométrica x = a sen(w) pode ser usada para resolver integrais que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões integráveis. Essa afirmação é verdadeira, pois as substituições trigonométricas são uma técnica de integração que envolve a aplicação da regra da substituição e o uso de identidades trigonométricas para chegar a expressões integráveis. IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x original. Essa afirmação é falsa, pois ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, é necessário retornar à variável original para obter a resposta final.