AOL 2 CÁLCULO INTEGRAL

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AOL 2 – CÁLCULO INTEGRAL 
 
 
1. Pergunta 1 
/1 
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de 
variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no 
Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta disciplina, como na 
modelagem de sistemas harmônicos simples e de correntes alternadas, por exemplo. 
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas 
trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas características: 
1) f(x) = sen(x). 
2) f(x) = cos(x). 
3) f(x) = tg(x). 
4) f(x) = sec(x). 
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1). 
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x). 
( ) Sua derivada é sec²(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
4, 2, 1, 3. 
2. 
1, 4, 2, 3. 
Resposta correta 
3. 
1, 3, 2, 4. 
4. 
4, 1, 2, 3. 
5. 
2, 1, 3, 4. 
 
Pergunta 2 
/1 
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses conceitos, muitas 
vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio limite é um desses conceitos 
referenciados, pois consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade e, com isso, proporciona 
inúmeros ganhos ao conhecimento humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado 
de diferencial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se afirmar que ele é 
relevante porque: 
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6. 
relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa. 
7. 
é pouco útil para a fundamentação do cálculo. 
8. 
torna dispensável o uso do limite. 
9. 
é útil na aplicação da regra de L’Hospital. 
10. 
está relacionado com a ideia de infinitésimo. 
Resposta correta 
 
Pergunta 3 
/1 
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no 
entendimento de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao 
substituir os valores de x de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos 
expressões da forma 0/0, por exemplo. 
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas 
propriedades, analise as afirmações a seguir: 
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito 
ainda estiver valendo. 
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve. 
III. A regra é aplicada por um processo de derivação. 
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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11. 
I, II e III. 
Resposta correta 
12. 
II e III. 
13. 
I, II e IV. 
14. 
I e II. 
15. 
III e IV. 
 
Pergunta 4 
/1 
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas 
alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma 
função cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, novamente 
uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e 
simples. 
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e 
integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3. 
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0. 
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))). 
IV. ( ) f’’(x) = -f(x). 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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16. 
F, F, V, V. 
Resposta correta 
17. 
V, F, V, V. 
18. 
V, V, F, F. 
19. 
V, V, F, V. 
20. 
F, F, V, F. 
 
Pergunta 5 
/1 
No estudo de funções compostas, percebemos que é possível a imagem de uma função ser o domínio de 
outra, e a notação que temos para descrever esse tipo de funções é H(x) = f(g(x)). Vimos ao longo do 
curso que existe uma regra para derivar esse tipo de função, chamada regra da cadeia, em que derivamos 
f(g(x)), considerando o argumento g(x) constante, e multiplicamos pela derivada de g(x), isto é, H’(x) = 
f’(g(x))*g’(x). 
Dadas as funções f(x) = sen(5x+2) e g(x) = 3cos(2x+5) e utilizando seus conhecimentos sobre derivadas 
de funções circulares, analise as afirmativas a seguir: 
I. A derivada de g(x) é igual a 6sen(2x+5). 
II. A função H(x) = z(w(x)), onde z(x) = sen(x) e w(x) = cos(2x), tem derivada H’(x) = 
−sen(2x)*cos(cos(2x)). 
III. A derivada de f(x) é igual a 5sen(5x+2)*cos(x). 
IV. A derivada de f(f(x)) é igual a −6sen(2x)*cos(3cos(2x) + 5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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21. 
II e IV 
22. 
II e III. 
23. 
I e III. 
24. 
II, III e IV. 
25. 
I e IV. 
Resposta correta 
 
Pergunta 6 
/1 
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física, é utilizado 
para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Essas funções 
polinomiais podem ser integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a partir daí, 
obter outros conhecimentos. 
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária da velocidade 
v(t), e a integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o 
conteúdo estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir. 
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do primeiro grau. 
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x). 
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma função do 
primeiro grau. 
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que a aceleração é 
constante e vale 2m/s². 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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26. 
I, II, III. 
27. 
II, III. 
28. 
III e IV. 
Resposta correta 
29. 
II e IV. 
30. 
I, II e IV. 
 
Pergunta 7 
/1 
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são operações 
contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a determinação da função 
primitiva F(x), que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma 
forma, derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. A propriedade define uma regra para integração de polinômios. 
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o problema de função 
primitiva. 
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva. 
IV. é um exemplo de integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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31. 
II e III. 
32. 
I, III e IV. 
33. 
I e IV. 
34. 
II, III e IV. 
35. 
I, II e III. 
Resposta correta 
 
Pergunta 8 
/1 
As funções circulares são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre 
dois grupos, aquelas que são diretas e as que são inversas. 
Considerando essas informações e tendo em vista os conhecimentos acerca das funções circulares, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. Sen(x) e Log(x) são funções circulares. 
II. As funções trigonométricas são circulares. 
III. As funções inversas são funções circulares. 
IV. x²+y² = 25 é uma função circular. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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36.II, III e IV. 
37. 
II e IV. 
38. 
I e IV. 
39. 
II e III. 
Resposta correta 
40. 
I, III e IV. 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta 9 
/1 
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para inúmeras áreas do 
conhecimento, principalmente a Física. Ele auxilia no estudo das leis horárias que descrevem 
movimentos de partículas e corpos, possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a 
propiciar o descobrimento de uma nova informação. 
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à equação horária da velocidade 
v(t), e a derivada segunda da equação horária do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). 
De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a 
seguir: 
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x). 
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x). 
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x). 
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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41. 
I, II, III. 
42. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
43. 
II e IV. 
44. 
III e IV. 
45. 
I, II, III. 
 
 
 
 
 
Pergunta 10 
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O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma reta tangente a uma 
curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em 
algumas situações é preferível que, ao se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a 
operação inversa a ela, para se descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou 
antiderivada. 
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas e 
antiderivadas, analise as afirmativas a seguir. 
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x). 
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada. 
III. é uma representação notacional de uma integral indefinida. 
IV. é uma propriedade de uma integral definida. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
46. 
I e IV. 
47. 
I e III. 
Resposta correta 
48. 
I, III e IV. 
49. 
II e III. 
50. 
II, III e IV.