41. (IME 2007) O quadrilátero BRAS, de coordenadas A(1,0), B(-2,0), R( x1, y1) e S(x2,y2) é construído tal que ˆ ˆRAS RBS 90º  . Sabendo que o p...

Para determinar a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se deslocar R sobre t, podemos utilizar a seguinte estratégia: 1. Encontrar a equação da reta RS em função de x1 e y1. 2. Encontrar a equação da reta BS em função de x1 e y1. 3. Encontrar a interseção entre as retas RS e BS, que será o ponto S em função de x1 e y1. 4. Substituir x1 por y - 1 na equação de S para obter a equação algébrica do lugar geométrico. Vamos seguir esses passos: 1. A reta RS passa pelos pontos R(x1, y1) e S(x2, y2), então sua equação pode ser escrita como: (y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1) Simplificando, temos: y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1) y = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1) + y1 2. A reta BS passa pelos pontos B(-2, 0) e S(x2, y2), então sua equação pode ser escrita como: (y - 0)/(x + 2) = (y2 - 0)/(x2 + 2) Simplificando, temos: y = (y2/(x2 + 2)) * (x + 2) 3. Igualando as equações de RS e BS, temos: (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1) + y1 = (y2/(x2 + 2)) * (x + 2) Multiplicando ambos os lados por (x2 - x1) * (x2 + 2), temos: (y2 - y1) * (x2 + 2) * (x - x1) + y1 * (x2 - x1) * (x2 + 2) = y2 * (x - x1) * (x2 - x1) Simplificando, temos: (y2 - y1) * (x2 + 2) * x - (y2 - y1) * (x2 + 2) * x1 + y1 * (x2 + 2) * (x2 - x1) - y2 * (x2 - x1) * x + y2 * (x2 - x1) * x1 = 0 Agrupando os termos em x e os termos independentes, temos: [(y2 - y1) * (x2 + 2) - y2 * (x2 - x1)] * x + [y1 * (x2 + 2) * (x2 - x1) + y2 * (x2 - x1) * x1] = 0 4. Substituindo x1 por y - 1, temos: [(y2 - y1) * (x2 + 2) - y2 * (x2 - y + 1)] * x + [y1 * (x2 + 2) * (x2 - y + 1) + y2 * (x2 - y + 1) * (y - 1)] = 0 Simplificando, temos: [(y2 - y1) * (x2 + 2) - y2 * (x2 - y + 1)] * x + [(y1 + y2 - 2) * x2 - y2] * y + (y1 - 2) * x2 + y2 = 0 Portanto, a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S é: [(y2 - y1) * (x2 + 2) - y2 * (x2 - y + 1)] * x + [(y1 + y2 - 2) * x2 - y2] * y + (y1 - 2) * x2 + y2 = 0