O elemento da i - ésima linha e j - ésima coluna de uma matriz n × n é igual a ai + bj , onde a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn são númer...

Seja P a constante de produto de cada linha. Então, o produto dos elementos da i-ésima linha é aiP + biP = (ai + bi)P. Como os produtos dos elementos de cada linha são iguais, podemos escrever: (a1 + b1)P = (a2 + b2)P = ... = (an + bn)P Agora, vamos calcular o produto dos elementos de cada coluna. Seja Q a constante de produto de cada coluna. Então, o produto dos elementos da j-ésima coluna é a1jQ + b1jQ, a2jQ + b2jQ, ..., anjQ + bnjQ = (a1j + a2j + ... + anj)Q + (b1j + b2j + ... + bnj)Q. Como os produtos dos elementos de cada coluna são iguais, podemos escrever: (a1j + a2j + ... + anj)Q + (b1j + b2j + ... + bnj)Q = (a1 + b1)P Mas sabemos que (a1 + b1)P = (a2 + b2)P = ... = (an + bn)P. Portanto, temos: (a1j + a2j + ... + anj)Q + (b1j + b2j + ... + bnj)Q = (a2 + b2)P (a1j + a2j + ... + anj)Q + (b1j + b2j + ... + bnj)Q = (a3 + b3)P ... (a1j + a2j + ... + anj)Q + (b1j + b2j + ... + bnj)Q = (an + bn)P Somando todas essas equações, obtemos: (na1j + na2j + ... + nanj)Q + (nb1j + nb2j + ... + nbnj)Q = n(a1 + b1)P Simplificando, temos: (a1j + a2j + ... + anj)Q + (b1j + b2j + ... + bnj)Q = (a1 + b1)P Mas isso é exatamente o que queríamos provar. Portanto, os produtos dos números em cada coluna também são iguais.