O polinômio P (x) = xn + a1x n−1 + a2x n−2 + . . .+ an−1x+ an com coeficientes inteiros a1, a2, . . . , an, é tal que existem quatro inteiros dis...

Para mostrar que não existe um inteiro k tal que P(k) = 8, podemos usar o método da contradição. Suponha que existe um inteiro k tal que P(k) = 8. Como P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = 5, temos que: k-a divide P(k)-P(a) = 8-5 = 3 k-b divide P(k)-P(b) = 8-5 = 3 k-c divide P(k)-P(c) = 8-5 = 3 k-d divide P(k)-P(d) = 8-5 = 3 Portanto, k-a, k-b, k-c e k-d são todos divisores de 3. Como a, b, c e d são distintos, temos que as diferenças a-b, a-c, a-d, b-c, b-d e c-d são todas diferentes de zero. Além disso, cada uma dessas diferenças é um divisor de 3, o que implica que elas são iguais a 3 ou -3. Considere agora o número N = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d). Como cada uma das diferenças a-b, a-c, a-d, b-c, b-d e c-d é igual a 3 ou -3, temos que N é um múltiplo de 3 elevado à sexta potência, ou seja, N é um múltiplo de 729. Por outro lado, como P(x) tem coeficientes inteiros, temos que P(k) - P(a) = (k-a)(k^(n-1) + a1k^(n-2) + ... + an-1) é um múltiplo de k-a. Como P(k) - P(a) = 8-5 = 3, temos que k-a é igual a 1 ou -1. Se k-a = 1, então N é um múltiplo de 729 e de 2, o que é impossível. Se k-a = -1, então N é um múltiplo de 729 e de -2, o que também é impossível. Portanto, chegamos a uma contradição, o que implica que não pode existir um inteiro k tal que P(k) = 8.