(ITA-85) Dizemos que um número real λ é autovalor de uma matriz real Inxn quando existir uma matriz coluna Xnx1 não-nula, tal que TX = λX. Considere uma matriz real Pnxm satisfazendo PP = P. Denote que λ1 um autovalor de P e por λ2 um autovalor de PP. Podemos afirmar que, necessariamente:
a) λ1 < λ2 < 0
b) λ1 > λ2 > 1
c) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {0, 1}
d) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {t ∈ R tal que t < 0 ou t > 1}
e) λ1 e λ2 pertencem ao intervalo aberto (0, 1)
a) λ1 < λ2 < 0
b) λ1 > λ2 > 1
c) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {0, 1}
d) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {t ∈ R tal que t < 0 ou t > 1}
e) λ1 e λ2 pertencem ao intervalo aberto (0, 1)
Respostas
Ed 
há 2 anos
Vamos analisar as alternativas: a) λ1 < λ2 < 0 - Não podemos afirmar isso, pois não sabemos se λ2 é negativo. b) λ1 > λ2 > 1 - Não podemos afirmar isso, pois não sabemos se λ2 é maior que 1. c) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {0, 1} - Não podemos afirmar isso, pois não sabemos se os autovalores são iguais a 0 ou 1. d) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {t ∈ R tal que t < 0 ou t > 1} - Não podemos afirmar isso, pois não sabemos se os autovalores estão nesse intervalo. e) λ1 e λ2 pertencem ao intervalo aberto (0, 1) - Podemos afirmar que essa alternativa é verdadeira, pois como P é uma matriz de projeção, seus autovalores são 0 e 1. Além disso, como PP = P, temos que os autovalores de PP são os quadrados dos autovalores de P. Portanto, λ1 = 0 ou 1 e λ2 = 0 ou 1² = 1. Como λ1 e λ2 são diferentes, temos que λ1 = 0 e λ2 = 1, que pertencem ao intervalo aberto (0, 1). Portanto, a alternativa correta é a letra e).
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