11. Determine os valores de a e b se f(x) = x4 − 5x3 +11x2 + ax+ b é diviśıvel por g(x) = (x− 1)2.

Para que f(x) seja divisível por (x-1)², é necessário que (x-1)² seja um fator de f(x) e que o resto da divisão de f(x) por (x-1)² seja igual a zero. Podemos utilizar a divisão sintética para encontrar o resto da divisão de f(x) por (x-1)². Começamos colocando 1 como o divisor e escrevendo os coeficientes de f(x) em ordem decrescente de grau: ``` 1 | 1 -5 11 a b | 1 -4 7 -a+b |------------- | 1 -4 7+a b-a+b ``` O resto da divisão é dado por b-a+b, que deve ser igual a zero. Portanto, temos: 2b - a = 0 Além disso, (x-1)² é um fator de f(x) se e somente se f(1) = 0. Substituindo x por 1 em f(x), temos: f(1) = 1 - 5 + 11 + a + b = 7 + a + b Como f(1) deve ser igual a zero, temos: 7 + a + b = 0 Agora podemos resolver o sistema formado pelas duas equações: 2b - a = 0 7 + a + b = 0 Isolando a em uma das equações e substituindo na outra, temos: a = 2b 7 + 2b + b = 0 b = -7/3 Portanto, a = -14/3 e b = -7/3.