(Ufpr 2014) Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo. Obtenha o maior valor de x, de modo que o vol...

Para encontrar o maior valor de x, precisamos primeiro encontrar a altura do cilindro. Sabemos que o cilindro está inscrito na esfera, então o diâmetro da esfera é igual à altura do cilindro mais o dobro do raio do cilindro. Podemos escrever isso como: 2r + 2x = 10 r + x = 5 Agora podemos escrever o volume do cilindro em termos de r e x: V = πr²x Substituindo r por 5 - x (da equação acima), temos: V = π(5 - x)²x V = π(25 - 10x + x²)x V = πx³ - 10πx² + 25πx Queremos encontrar o maior valor de x que faz com que V = 72π. Então, podemos escrever: 72π = πx³ - 10πx² + 25πx 72 = x³ - 10x² + 25x x³ - 10x² + 25x - 72 = 0 Podemos usar a fórmula de Cardano-Tartaglia para encontrar as raízes dessa equação cúbica, mas sabemos que uma das raízes é x = 3 (pois essa é uma das opções de resposta). Podemos dividir a equação por (x - 3) para obter uma equação quadrática: (x³ - 10x² + 25x - 72) / (x - 3) = x² - 7x + 24 As outras duas raízes são as soluções dessa equação quadrática: x² - 7x + 24 = 0 (x - 3)(x - 8) = 0 As raízes são x = 3, x = 8. Como queremos o maior valor de x, a resposta é x = 8. Portanto, a alternativa correta é a letra E).