15. (IME 2007) O volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um tetraedro regular do volume V é: a) V 2 b) V 4 c) V 8 d) ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula que relaciona o volume de um octaedro regular com a medida da aresta, que é V = (2√2/3) * a³. Sabemos que os vértices do octaedro são os pontos médios das arestas do tetraedro regular, então podemos calcular a medida da aresta do octaedro a partir da medida da aresta do tetraedro. Seja a a medida da aresta do tetraedro regular. Podemos calcular a medida da aresta do octaedro a partir da medida da aresta do tetraedro, utilizando o teorema de Pitágoras em um dos triângulos equiláteros formados pelas arestas do tetraedro. Temos: a² = (2/3)²a² + (1/3)²a² a² = (4/9 + 1/9)a² a² = (1/2)a² a = √2/2 * a Agora podemos calcular o volume do octaedro utilizando a fórmula V = (2√2/3) * a³, substituindo a medida da aresta do octaedro que acabamos de calcular: V = (2√2/3) * (√2/2 * a)³ V = (2√2/3) * (2√2/8 * a³) V = (2√2/3) * (V/4) V = (2√2/3) * V/4 V = √2/6 * V Portanto, o volume do octaedro é V = √2/6 * V, que corresponde à alternativa (D).