15. (IME 2007) O volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um tetraedro regular do volume V é: a) V 2 b) V 4 c) V 8 d) 2 V 2 e) 3 V 2

Question

15. (IME 2007) O volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um tetraedro regular do volume V é: a) V 2 b) V 4 c) V 8 d) ...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre o volume do tetraedro regular e o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas do tetraedro.

1. O volume de um tetraedro regular é dado por $ V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} $, onde $ a $ é a aresta do tetraedro.
2. Quando formamos um octaedro cujos vértices são os pontos médios das arestas do tetraedro, o volume do octaedro é exatamente um oitavo do volume do tetraedro.

Portanto, se o volume do tetraedro é $ V $, o volume do octaedro será $ \frac{V}{8} $.

Assim, a alternativa correta é: c) $ V 8 $.

Ed · Answer

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula que relaciona o volume de um octaedro regular com a medida da aresta, que é V = (2√2/3) * a³.

Sabemos que os vértices do octaedro são os pontos médios das arestas do tetraedro regular, então podemos calcular a medida da aresta do octaedro a partir da medida da aresta do tetraedro.

Seja a a medida da aresta do tetraedro regular. Podemos calcular a medida da aresta do octaedro a partir da medida da aresta do tetraedro, utilizando o teorema de Pitágoras em um dos triângulos equiláteros formados pelas arestas do tetraedro. Temos:

a² = (2/3)²a² + (1/3)²a²
a² = (4/9 + 1/9)a²
a² = (1/2)a²
a = √2/2 * a

Agora podemos calcular o volume do octaedro utilizando a fórmula V = (2√2/3) * a³, substituindo a medida da aresta do octaedro que acabamos de calcular:

V = (2√2/3) * (√2/2 * a)³
V = (2√2/3) * (2√2/8 * a³)
V = (2√2/3) * (V/4)
V = (2√2/3) * V/4
V = √2/6 * V

Portanto, o volume do octaedro é V = √2/6 * V, que corresponde à alternativa (D).

Geometria

Lista 5_ Octaedros e Pirâmides

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Lista 5_ Octaedros e Pirâmides

1. (Pucrj 2010) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura. Para um octaedro de aresta a: a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume? c) Qual é a distância entre duas faces opostas?

3. (ITA 2009) Os pontos A=(3;4) e B=(4;3) são vértices de um cubo em que AB é uma de suas arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do cubo é:

4. (FEIUC1964) Determinar o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces do paralelepípedo reto-retângulo de dimensões , ,a b c .

5. Determine o volume do sólido que se obtém ligando os centros das faces de um octaedro regular.

6. Indique que tipo de região é a secção determinada no octaedro regular PABCDL, por um plano que contem os pontos médios das arestas PC, AD e LC.

7. Em um hexaedro regular ABCD-EFGH, tomam-se os centros O1 e O2 das faces DCGH e EFGH respectivamente, tal que a distância de O1 a BO2 é √33 . Calcule a área da superfície do poliedro conjugado inscrito no hexaedro.

8. Em um octaedro regular L-ABCD-S , tomam-se os pontos K e E em BL e SD respectivamente, tal que KE contem o centro O do octaedro, SE=2KB e a área da região triangular EOD é 3. Calcule o volume do octaedro.

9. Em um octaedro regular P-ABCD-Q, tomam-se os pontos médios M,N, T e H de AQ, DQ, CQ e QB respectivamente. Calcule a razão dos volumes entre o octaedro e a pirâmide P-MHTN.

10. (EESCUSP1955) Dado um tetraedro regular, estudar o poliedro P que tem como vértice os pontos médios das arestas do tetraedro. Se � é o lado do tetraedro, calcular a área total e o volume de P.

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