9. (Ita 2015) Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x 4y 4 0   e s : 3x 4y 19 0.   A área do círculo determina...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Primeiro, encontramos o ponto de tangência T entre a circunferência e a reta r. Para isso, podemos resolver o sistema formado pelas equações da reta e da circunferência: 3x + 4y = 4 x^2 + y^2 = r^2 Substituindo y por (4/3)x - 1 na equação da circunferência, temos: x^2 + (4/3)x^2 - 8/3 x + 1 = r^2 7/3 x^2 - 8/3 x + 1 - r^2 = 0 Como a circunferência é tangente à reta r, a equação acima deve ter uma única solução para x, ou seja, seu discriminante deve ser igual a zero: (8/3)^2 - 4 * 7/3 * (1 - r^2) = 0 r^2 = 25/9 Portanto, o ponto de tangência T é dado por (3/5, 4/5). Como a circunferência é tangente também à reta s, o centro da circunferência deve estar sobre a mediatriz do segmento TS, onde S é o ponto de interseção entre as retas r e s. A equação da mediatriz é dada por: 3x + 4y = 11 Como o centro da circunferência está sobre essa reta, podemos escrever suas coordenadas como (3t, 11/4 - 4t/3), onde t é um parâmetro. Como a distância entre o centro e o ponto T é igual ao raio da circunferência, temos: (3t - 3/5)^2 + (11/4 - 4t/3 - 4/5)^2 = 25/9 Resolvendo essa equação, encontramos t = 1/3. Portanto, o centro da circunferência é dado por (1, 5/3) e seu raio é igual a 2/3. A área do círculo é dada por: A = πr^2 = 4/9 π Portanto, a alternativa correta é a letra D).