16. (ITA 1987) Uma circunferência, tangente às retas de equações 2x 3y 9 0 e 3x 2y 1 0      , tem o seu centro sobre a reta x 2y 10 0   ....

Para encontrar a equação da circunferência, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o ponto de interseção das duas retas dadas. Para isso, podemos resolver o sistema formado pelas equações das retas: 2x + 3y = 9 3x - 2y = 1 Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda por 3, temos: 4x + 6y = 18 9x - 6y = 3 Somando as duas equações, obtemos: 13x = 21 x = 21/13 Substituindo x na primeira equação, temos: 2(21/13) + 3y = 9 3y = 117/13 - 42/13 y = 75/39 = 25/13 Portanto, o ponto de interseção das duas retas é P = (21/13, 25/13). 2. Encontrar a distância entre o ponto P e a reta x - 2y + 10 = 0. Para isso, podemos usar a fórmula: d = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2) Onde (x0, y0) é o ponto P e a equação da reta é ax + by + c = 0. Substituindo os valores, temos: d = |1(21/13) - 2(25/13) + 10| / sqrt(1^2 + (-2)^2) d = 12/13 3. O raio da circunferência é igual à distância encontrada no passo anterior. Portanto, r = 12/13. 4. O centro da circunferência é o ponto médio entre o ponto P e o ponto de interseção das retas perpendiculares aos coeficientes angulares das retas dadas. Como as retas têm coeficientes angulares opostos e recíprocos, elas são perpendiculares. Portanto, podemos encontrar o ponto médio das retas usando a fórmula: x = (a1 + a2) / 2 y = (b1 + b2) / 2 Onde (a1, b1) e (a2, b2) são os pontos de interseção das retas com os eixos coordenados. Para a primeira reta, temos: 2x + 3y = 9 Quando x = 0, y = 3/2. Quando y = 0, x = 9/2. Portanto, os pontos de interseção são A = (0, 3/2) e B = (9/2, 0). Para a segunda reta, temos: 3x - 2y = 1 Quando x = 0, y = -1/2. Quando y = 0, x = 1/3. Portanto, os pontos de interseção são C = (0, -1/2) e D = (1/3, 0). O ponto médio das retas é M = ((9/2 + 1/3)/2, (3/2 - 1/2)/2) = (23/12, 1). Portanto, o centro da circunferência é o ponto M = (23/12, 1). 5. Finalmente, podemos escrever a equação da circunferência na forma geral: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 Substituindo os valores encontrados, temos: (x - 23/12)^2 + (y - 1)^2 = (12/13)^2 Portanto, a equação da circunferência é (x - 23/12)^2 + (y - 1)^2 = 144/169.