Vamos começar lembrando que a área lateral de um cone circular reto é dada por: Al = π*r*l Onde r é o raio da base do cone e l é a geratriz. Já a área da base é dada por: Ab = π*r^2 A área total da superfície do cone é dada por: S = Al + Ab Substituindo a fórmula da área lateral, temos: S = π*r*l + π*r^2 Podemos simplificar essa expressão dividindo tudo por π*r: S/π*r = l + r Agora, vamos usar a razão m entre a área lateral e a área da base: m = Al/Ab = (π*r*l)/(π*r^2) = l/r Isolando l na equação acima, temos: l = m*r Substituindo na expressão que encontramos para S/π*r, temos: S/π*r = m*r + r Simplificando: S/π*r = r*(m + 1) Isolando r: r = √(S/π*(m+1)) Finalmente, podemos encontrar h usando o teorema de Pitágoras: h^2 = l^2 + r^2 Substituindo l por m*r e r pela expressão que encontramos acima, temos: h^2 = (m*r)^2 + (√(S/π*(m+1)))^2 Simplificando: h^2 = r^2 * (m^2 + 1) + S/π*(m+1) Substituindo r pela expressão que encontramos acima, temos: h^2 = (S/(m+1)) * (m^2 + 1) + S/π*(m+1) Simplificando: h^2 = S * ((m^2 + 1)/(m+1)^2 + 1/π*(m+1)) Isolando h: h = √(S * ((m^2 + 1)/(m+1)^2 + 1/π*(m+1)))