39. Sejam a , b , c e d as raízes (nos complexos) do polinômio x 4 + 6x 2 + 4x + 2. Encontre um polinômio p (x ), do quarto grau, que tenha como ra...

Sabemos que se a, b, c e d são as raízes do polinômio x^4 + 6x^2 + 4x + 2, então a^2, b^2, c^2 e d^2 são as raízes do polinômio p(x). Podemos encontrar p(x) utilizando a relação entre coeficientes e raízes de um polinômio. Sejam r1, r2, r3 e r4 as raízes de um polinômio de quarto grau p(x), então: p(x) = a(x - r1)(x - r2)(x - r3)(x - r4) Substituindo as raízes a^2, b^2, c^2 e d^2, temos: p(x) = a(x - a^2)(x - b^2)(x - c^2)(x - d^2) Expandindo o produto, temos: p(x) = a(x^4 - (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)x^2 + (a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2)x - a^2b^2c^2d^2) Substituindo os valores dos coeficientes do polinômio x^4 + 6x^2 + 4x + 2, temos: p(x) = a(x^4 - (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)x^2 + (a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2)x - 2) Agora, precisamos encontrar o valor de a. Podemos fazer isso utilizando o fato de que o coeficiente de x^4 em p(x) é 1: 1 = a(a^2b^2c^2d^2) Logo, a = 1/(bcd), onde b, c e d são as raízes do polinômio x^3 + 6x + 4. Substituindo o valor de a na expressão de p(x), temos: p(x) = (x^4 - (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)x^2 + (a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2)x - 2)/(bcd) Portanto, o polinômio p(x) procurado é: p(x) = (x^4 - (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)x^2 + (a^2b^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 + c^2d^2)x - 2)/(bcd)