O menor inteiro positivo n tal que (1 + i 1− i )n = 1 é (a) 4. (b) 8. (c) 12. (d) 16. (e) 20.

36. A

Question

O menor inteiro positivo n tal que (1 + i 1− i )n = 1 é (a) 4. (b) 8. (c) 12. (d) 16. (e) 20.

36. A

Ed · Answer

Para resolver a questão, precisamos simplificar a expressão $(1 + i)(1 - i)$.

Calculando:

$$
(1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
$$

Portanto, temos:

$$
(1 + i)(1 - i) = 2
$$

Agora, queremos encontrar o menor inteiro positivo $n$ tal que:

$$
(2)^n = 1
$$

Isso só acontece quando $n$ é um múltiplo de $4$, pois $2^n$ não pode ser igual a $1$ para $n$ positivo, a menos que consideremos a forma de $2$ na forma de números complexos.

A menor potência de $2$ que resulta em $1$ no círculo unitário é quando $n = 4$.

Assim, a resposta correta é: **(a) 4.**

Ed · Answer

Podemos resolver essa questão utilizando a fórmula de De Moivre.

(1 + i(1 - i))^n = 1

Convertendo para a forma trigonométrica:

√2 * cis(π/4)^n = cis(2πk)

Onde k é um inteiro qualquer.

Podemos então igualar as partes trigonométricas:

cis(π/4)^n = cis(2πk)

πn/4 = 2πk

n/4 = 2k

n = 8k

Como n é o menor inteiro positivo que satisfaz a equação, podemos assumir que k = 1.

Logo, n = 8.

Portanto, a alternativa correta é a letra B) 8.

Álgebra

O menor inteiro positivo n tal que (1 + i 1− i )n = 1 é (a) 4. (b) 8. (c) 12. (d) 16. (e) 20. 36. A

Lista 1_ Números Complexos

Respostas

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Essa pergunta também está no material:

Lista 1_ Números Complexos

2 números complexos tais que z1z2 6= 0. Prove que z1z2 + z1z2 é um número real.

Existe um número complexo z com parte imaginária 164 e um inteiro positivo n tais que z z + n = 4i. Determine o valor de n.

33. ±1

Determine os números complexos z tais que z1 = z 1 + z2 e z2 = z2 1 + z são números reais.

Seja S = in + i−n, em que i = √ −1 e n um número inteiro. Determine o total de posśıveis valores de S.

35. 3

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Seja S = in + i−n, em que i = √ −1 e n um número inteiro. Determine o total de posśıveis valores de S.35. 3

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