Lista 1_ Números Complexos

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Números Complexos I
Prof. Ćıcero Thiago
1 Números Complexos
1.1 Representação algébrica dos Números
Complexos
Definição. O conjunto dos números complexos, represen-
tado por C, consiste de todos os pares ordenados (a, b) com
a, b ∈ R. Definiremos que a adição de dois números comple-
xos será (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e a multiplicação de
dois números será (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc).
1.1.1 Propriedades da adição
(i) Comutatividade
z1 + z2 = z2 + z1, ∀z1, z2 ∈ C.
(ii) Associatividade
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), ∀z1, z2, z3 ∈ C.
(iii) Elemento Neutro Aditivo
Existe um único número complexo 0 = (0, 0) tal que
z + 0 = 0 + z = z, ∀z = (a, b) ∈ C.
(iv) Inverso Aditivo
Para todo número complexo z = (a, b) existe um único −z =
(−a,−b) ∈ C tal que
z + (−z) = (−z) + z = 0.
O número z1−z2 = z1+(−z2) é chamado de diferença entre
os números z1 e z2. A operação que associa os números z1
e z2 ao número z1 − z2 é chamada de subtração e é assim
definida
z1 − z2 = (a1, b1)− (a2, b2) = (a1 − a2, b1 − b2) ∈ C.
1.1.2 Propriedades da multiplicação
(i) Comutatividade
z1 · z2 = z2 · z1, ∀z1, z2 ∈ C.
(ii) Associatividade
(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3), ∀z1, z2, z3 ∈ C.
(iii) Elemento Neutro Multiplicativo
Existe um único número complexo 1 = (1, 0) ∈ C tal que
z · 1 = 1 · z = z, ∀z ∈ C.
(iv) Inverso Multiplicativo
Para todo número complexo z = (a, b) ∈ C∗ existe um único
número complexo z−1 = (a′, b′) ∈ C tal que
z · z−1 = z−1 · z = 1.
Para achar z−1 = (a′, b′), observe que (a, b) 6= (0, 0) implica
a 6= 0 ou b 6= 0 e, consequentemente, a2 + b2 6= 0. A relação
z·z−1 = 1 implica (a, b)·(a′, b′) = (1, 0), ou equivalentemente
{
aa′ − bb′ = 1
ba′ + ab′ = 0
Resolvendo a sistema nas variáveis a′ e b′, obtemos
a′ =
a
a2 + b2
e b′ = − b
a2 + b2
,
portanto, o inverso multiplicativo do número complexo z =
(a, b) ∈ C∗ é
z−1 =
1
z
=
(
a
a2 + b2
,− b
a2 + b2
)
∈ C∗.
Dados dois números complexos w = (c, d) e z = (a, b) ∈ C∗,
determinamos de maneira única um terceiro número cha-
mado de quociente, denotado por
w
z
e assim definido
w
z
= w · z−1 = (c, d) ·
(
a
a2 + b2
,− b
a2 + b2
)
=
(
ca+ db
a2 + b2
,
−cb+ da
a2 + b2
)
∈ C∗.
As potências inteiras de um número complexo z ∈ C∗ são
assim definidas
{
z0 = 1
zn = zn−1 · z, ∀n ≥ 1.
Assim:
1.1 Representação algébrica dos Números Complexos 1 NÚMEROS COMPLEXOS
z1 = z0 · z = 1 · z = z;
z2 = z1 · z = z · z;
z3 = z2 · z = z · z · z.
De uma maneira geral, para n ≥ 3,
zn = z · z · . . . · z,
n fatores iguais a z.
Sejam z, z1, z2 ∈ C∗ e m,n números inteiros, então valem
as seguintes propriedades:
1. zm · zn = zm+n
2.
zm
zn
= zm−n
3. (z1 · z2)n = zn1 · zn2
4.
(
z1
z2
)n
=
zn1
zn2
, z2 6= 0
5. (zm)n = zm·n
6. z−n =
1
zn
Quando z = 0, definimos 0n = 0, ∀n > 0, n inteiro.
(v) Distributividade
z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3, ∀z1, z2, z3 ∈ C.
Vamos agora definir que para todo a ∈ R, (a, 0) = a. Como
chamamos i = (0, 1) temos que
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1)
= a+ bi = (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) = a+ bi.
Assim, todo número complexo z = (a, b) pode ser unica-
mente representado na forma
z = a+ bi,
com a, b números reais e, usando a operação de multi-
plicação, verificamos que o número i satisfaz i · i = i2 =
(0, 1) · (0, 1) = (0 · 0− 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1.
O número a = Re(z) é chamado de parte real de z e o
número b = Im(z) é chamado de parte imaginária de z.
Com isso, fica fácil perceber que se um número complexo
que tem parte imaginária igual a zero será um número real,
números complexos da forma ib, b 6= 0 serão chamados de
imaginários puros e o número complexo i será chamado de
unidade imaginária.
Dois números complexos são iguais se, e somente se, eles
possuem a mesma parte real e a mesma parte imaginária,
isto é,
a+ bi = c+ di ⇔ a = c e b = d.
Além disso, z ∈ C se, e somente se, Im(z) = 0 e z ∈ C\R
se, e somente se, Im(z) 6= 0.
A soma e o produto de dois números complexos z = a+ bi e
w = c+ di são definidos assim:
z + w = (a+ c) + (b+ d)i e z.w = (ac− bd) + (ad+ bc)i.
1.1.3 Conjugado
Definição. O número complexo z = a − bi será chamado
de conjugado do número complexo z = a + bi. Seguem
algumas propriedades.
1. z = z se, e somente se, z ∈ R.
2. z = z.
3. z + w = z + w.
4. z.w = z.w.
5. z−1 = (z)−1.
6.
( z
w
)
=
z
w
.
7. Re(z) =
z + z
2
e Im(z) =
z − z
2i
.
1.1.4 Valor Absoluto ou Módulo
Definição. O valor absoluto ou módulo de um número
complexo z = a+ bi é definido por:
|z| =
√
a2 + b2.
Vejamos agora algumas propriedades do módulo de um
número complexo:
2
1.1 Representação algébrica dos Números Complexos 1 NÚMEROS COMPLEXOS
1. −|z| ≤ Re(z) ≤ |z| e −|z| ≤ Im(z) ≤ |z|.
2. |z| ≥ 0, ∀z ∈ C, com |z| = 0 se, e somente se, z = 0.
3. |z| = | − z| = |z|
4. z.z = |z|2
5. |z1.z2| = |z1|.|z2|
6.
∣
∣
∣
∣
1
z
∣
∣
∣
∣
=
1
|z| , z 6= 0
7.
∣
∣
∣
∣
z1
z2
∣
∣
∣
∣
=
|z1|
|z2|
, z2 6= 0
8. |z1| − |z2| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
9. |z1| − |z2| ≤ |z1 − z2| ≤ |z1|+ |z2|.
Vamos ver a demonstração da propriedade 8:
Observe que |z1 + z2|2 = (z1 + z2) (z1 + z2) =
(z1 + z2) (z1 + z2) = |z1|2 + z1 · z2 + z1 · z2 + |z2|2.
Por outro lado, z1 · z2 = z1 · z2 = z1 · z2, assim:
z1 · z2 + z1 · z2 = 2 · Re (z1 · z2) ≤ 2|z1 · z2| = 2|z1| · |z2|,
portanto, |z1 + z2|2 ≤ (|z1|+ |z2|)2 . Finalmente,
|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|.
Agora, |z1| = |z1 + z2 + (−z2)| ≤ |z1 + z2|+ | − z2| = |z1 +
z2|+ |z2|. Assim,
|z1| − |z2| ≤ |z1 + z2|.
1.1.5 Potências do número i
Temos que
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = i2 · i = −i,
i4 = i3 · i = 1, i5 = i4 · i = i, i6 = i5 · i = −1, i7 = i6 · i = −i.
Podemos provar por indução que, para todo inteiro positivo
n,
i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −1.
Exemplo. Resolva a equação z3 = 18+26i, onde z = x+ yi
e x, y são números inteiros.
Solução. (x+yi)3 = (x+yi)2(x+yi) = (x2−y2+2xyi)(x+
yi) = (x3 − 3xy2) + (3x2y − y3) = 18 + 26i.
Usando a definição de igualdade de números complexos, ob-
temos:
{
x3 − 3xy2 = 18
3x2y − y3 = 26
Fazendo y = tx na igualdade 18(3x2y−y3) = 26(x3−3xy2),
observamos que x 6= 0 e y 6= 0 implica 18(3t− t3) = 26(1−
3t2). A última relação é equivalente a (3t−1)(3t2−12t−13) =
0. A única solução racional da equação é t =
1
3
, então,
x = 3, y = 1 e z = 3 + i.
Exemplo. Prove a identidade
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)
para todos os complexos z1 e z2.
Solução. Usando z.z = |z|2, temos que
|z1+ z2|2+ |z1− z2|2 = (z1+ z2)(z1+ z2)+ (z1− z2)(z1− z2)
= |z1|2 + z1.z2 + z2.z1 + |z2|2 + |z1|2 − z1.z2 − z2.z1 + |z2|2
2(|z1|2 + |z2|2).
Exemplo. No conjunto dos números complexos resolva a
equação
(
x2 − a2
)2 − 4ax − 1 = 0, em que a é um número
real.
Solução.
(
x2 − a2
)2 − 4ax− 1 = 0 ⇔
(
x2 + a2
)2 − 4a2x2 − 4ax− 1 = 0 ⇔
(
x2 + a2
)2 − (2ax+ 1)2 = 0 ⇔
(
x2 + a2 − 2ax− 1
) (
x2 + a2 + 2ax+ 1
)
= 0 ⇔
[
(x− a)2 − 1
] [
(x+ a)
2
+ 1
]
= 0 ⇔
(x− a− 1) (x− a+ 1) (x+ a− i) (x+ a+ i) = 0.
x = a+ 1, x = a− 1, x = −a+ i e x = −a− i.
Exemplo. Sejam w1, w2, . . . , wn números complexos. Uma
reta L no plano complexo é chamada de reta média para
os pontos w1, w2, . . . , wn se L contém pontos (números
complexos) z1, z2, . . . , zn tais que
n
∑
k=1
(zk − wk) = 0.
Para os números w1 = 32 + 170i, w2 = −7 + 64i,
w3 = −9 + 200i, w4 = 1 + 27i e w5 = −14 + 43i existe uma
3
1.1 Representação algébrica dos Números Complexos 1 NÚMEROS COMPLEXOS
única reta média que intersecta o eixo y no ponto (0, 3).
Determine o coeficiente angular desta reta média.
Solução. Seja y = mx+b uma reta média para os complexos
wk = uk + ivk, onde uk e vk, e k = 1, 2, 3, . . . , n. Assuma
que os números complexos zk = xk + iyk, onde xk e yk são
números reais escolhidos sobre a reta y = mx+ b, assim
n
∑
k=1
(zk − wk) = 0.
Então
∑
xk =
∑
uk,
∑
yk =
∑
vk,
com yk = mxk + b, 1 ≤ k ≤ n. Consequentemente,
∑
vk =
∑
yk =
∑
(mxk+ b) =
m
∑
xk + nb =
(
∑
uk
)
m+ nb.
Nesse caso, n = 5, b = 3,
∑
uk = 3 e
∑
vk = 504. Segue
que 504 = 3m+ 15 ⇔ m = 163.
Exemplo. Se a, b e n são números inteiros e positivos, prove
que existem inteiros x e y tais que
(
a2 + b2
)n
= x2 + y2.
Solução.
Seja z = a + bi. Então,
(
a2 + b2
)n
=
(
|z|2
)n
= |z|2n =
(|z|n)2 . Mas, zn = x+ iy, com x e y inteiros (pois a e b são
inteiros). Portanto, (|z|n)2 = |x+ iy|2 = x2 + y2.
Exemplo. Seja f : C → C uma função tal que f(z)f(iz) =
z2 para qualquer z ∈ C. Prove que f(z) + f(−z) = 0 para
qualquer z ∈ C.
Solução.
Substitua z por iz na igualdade f(z)f(iz) = z2, então
f(iz)f(−z) = −z2. Somando as duas igualdades te-
mos que f(iz) (f(z) + f(−z)) = 0 então f(iz) = 0 ou
f(z) + f(−z) = 0. Da igualdade f(z)f(iz) = z2 deduzimos
que f(z) = 0 se, e somente se, z = 0. Se z 6= 0, então
f(iz) 6= 0 e, com isso, f(z) + f(−z) = 0 e, se z = 0, então
f(z) + f(−z) = 2f(0) = 0. Portanto, f(z) + f(−z) = 0
para qualquer z ∈ C. Um exemplo de função que satisfaz
f(z)f(iz) = z2 é f(z) =
(
−
√
2
2
+ i
√
2
2
)
z.
Exemplo. Se x é um número real, prove que todos os
números complexos de módulo 1 podem ser escritos na forma
x+ i
x− i .
Solução. Para começar seja (a+ bi)
2
=
(a− bi) (a+ bi) a+ bi
a− bi =
(
a2 + b2
)
a
b
+ i
a
b
− i
, e use o fato
que a2 + b2 = 1. Faça z = (a+ bi)
2
e
a
b
= t ∈ R. Assim,
|z| = | (a+ bi)2 | = a2 + b2 = 1 e z = t+ i
t− i , t ∈ R.
Exerćıcios propostos
1. Prove que se |z1| = |z2| = 1 e z1z2 6= −1, então
z1 + z2
1 + z1z2
é um número real.
2. Seja z um número complexo tal que z ∈ C− R e
1 + z + z2
1− z + z2 ∈ R.
Prove que |z| = 1.
3. Ache todos os números complexos z tais que
|z| = 1 e |z2 + z2| = 1.
4. Seja z = x+ yi. Se |z − 6| = 5 e |z| = 5, ache todos os
posśıveis valores de x e y.
5. Sejam a e z números complexos tais que |a| < 1 e
az 6= 1. Mostre que se
∣
∣
∣
∣
z − a
1− az
∣
∣
∣
∣
< 1 então |z| < 1.
6. Sejam z1, z2 ∈ C números complexos tais que
|z1 + z2| =
√
3 e |z1| = |z2| = 1. Calcule |z1 − z2|.
7. Prove que se 11z10+10iz9+10iz−11 = 0, então |z| = 1.
8. Determine o total de pares ordenados (a, b) de números
reais tais que (a+ bi)2002 = a− bi.
9. Determine todos os inteiros a, b e c que satisfazem
a igualdade (a+ bi)
3 − 107i = c, onde i =
√
−1 é a
unidade imaginária.
4
1.1 Representação algébrica dos Números Complexos 1 NÚMEROS COMPLEXOS
10. (IME) Sejam os complexos z = a + bi e w = 47 + ci,
tais que z3 + w = 0. Determine o valor de a, b e c,
sabendo que esses números são inteiros e positivos.
11. (IME) Seja o número complexo z = a+ bi, com a, b ∈ R
(real) e i =
√
−1. Determine o módulo de z sabendo
que
{
a3 = 3(1 + ab2)
b3 = 3(a2b− 1)
12. (IME) Determine a expressão da soma a seguir, onde n
é um inteiro múltiplo de 4,
1 + 2i+ 3i2 + . . .+ (n+ 1)in.
13. (ITA) A soma de todas as soluções da equação em
C : z2 + |z|2 + iz − 1 = 0 é igual a
(a) 2. (b)
i
2
. (c) 0. (d) −1
2
. (e) −2i.
14. (ITA) Sejam α, β ∈ C tais que |α| = 1 e |β| = 1 e
|α− β| =
√
2. Então α2 + β2 é igual a
(a) −2. (b) 0. (c) 1. (d) 2. (e) 2i.
15. (ITA) Considere a equação
16
(
1− ix
1 + ix
)3
=
(
1 + i
1− i −
1− i
1 + i
)4
.
Sendo x um número real, a soma dos quadrados das
soluções dessa equação é
(a) 3. (b) 6. (c) 9. (d) 12. (e) 15.
16. (ITA) Assinale a opção que indica o módulo do número
complexo
1
1 + i cotgx
, x 6= kπ, k ∈ Z.
(a) | cosx|. (b) (1 + senx)
2
. (c) cos2x. (d) | cossecx|.
(e) | senx|.
17. (ITA) Determine o conjunto A formado por todos os
números complexos z tais que
z
z − 2i +
2z
z + 2i
= 3 e 0 < |z − 2i| ≤ 1.
18. (ITA) Se para todo z ∈ C, |f(z)| = |z| e
|f(z) − f(1)| = |z − 1|, então, para todo z ∈ C,
f(1)f(z) + f(1)f(z) é igual a
(a) 1. (b) 2z. (c) 2Re(z). (d) 2Im(z). (e) 2|z|2.
19. (ITA) Seja z ∈ C com |z| = 1. Então, a expressão
∣
∣
∣
∣
1− zw
z − w
∣
∣
∣
∣
assume valor
(a) maior que 1, para todo w com |w| > 1.
(b) menor que 1, para todo w com |w| < 1.
(c) maior que 1, para todo w com w 6= z.
(d) igual a 1, independente de w com w 6= z.
(e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|.
20. (ITA) A soma das ráızes da equação z3+z2−|z|2+2z =
0, z ∈ C, é igual a
(a) −2. (b) −1 . (c) 0 . (d) 1 . (e) 2.
21. (ITA) Seja z0 o número complexo 1 + i. Sendo
S o conjunto solução no plano complexo de
|z − z0| = |z + z0| = 2, então o produto dos ele-
mentos de S é igual a:
(a) 4(1− i) (b) 2(1 + i) (c) 2(1− i) (d) −2i (e) 2i
22. (ITA) Sejam a e b dois números complexos não nulos,
tais que a2 + b2 = 0. Se z, w ∈ C satisfazem
{
zw + zw = 6a
zw − zw = 8b
determine o valor de |a| de forma que |zw| = 1.
23. (ITA) Seja a equação em C, z4 − z2 + 1 = 0. Qual
dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas
das ráızes dessa equação?
(a) 2
√
3. (b) −
√
3
2
. (c)
√
3
2
. (d) −i (e) i
2
.
24. (IME) Seja z um número complexo de módulo unitário
que satisfaz a condição z2n 6= −1, onde n é um número
inteiro positivo. Demonstre que
zn
1 + z2n
é um número
real.
25. Ache todos os números complexos z tais que
4z2 + 8|z|2 = 8.
5
1.1 Representação algébrica dos Números Complexos 1 NÚMEROS COMPLEXOS
26. Sejam z1, z2, z3 números complexos tais que
z1 + z2 + z3 = 0 e |z1| = |z2| = |z3| = 1.
Prove que
z21 + z
2
2 + z
2
3 = 0.
27. Sejam z1, z2, z3 números complexos tais que
|z1| = |z2| = |z3| = r > 0
e z1 + z2 + z3 6= 0. Prove que
|z1z2 + z2z3 + z3z1
z1 + z2 + z3
| = r.
28. (ITA) Considere a equação
(a− bi)501 = 2(a+ bi)
(a2 + b2)250 + 1
.
O número de pares ordenados (a, b) ∈ R2 que satisfa-
zem a equação é
(a) 500. (b) 501. (c) 502. (d) 503. (e) 504.
29. Se x =
1− i
√
3
2
, em que i =
√
−1, então 1
x2 − x é igual
a
(a) −2. (b) −1. (c) 1 + i
√
3. (d) 1. (e) 2.
30. Sejam z1 e z2 números complexos tais que
10z21 + 5z
2
2 = 2z1z2. Prove que 3z1 − z2 é um
número real se z1 + 2z2 é um número imaginário puro.
31. O número complexo z satisfaz z + |z| = 2 + 8i.
Determine o valor de |z|2.
(a) 68 (b) 100 (c) 169 (d) 208 (e) 289
32. Sejam z1 e z2 números complexos tais que z1z2 6= 0.
Prove que z1z2 + z1z2 é um número real.
33. Existe um número complexo z com parte imaginária
164 e um inteiro positivo n tais que
z
z + n
= 4i.
Determine o valor de n.
34. Determine os números complexos z tais que z1 =
z
1 + z2
e z2 =
z2
1 + z
são números reais.
35. Seja S = in + i−n, em que i =
√
−1 e n um número
inteiro. Determine o total de posśıveis valores de S.
36. O menor inteiro positivo n tal que
(
1 + i
1− i
)n
= 1 é
(a) 4. (b) 8. (c) 12. (d) 16. (e) 20.
Respostas
3. ±1
2
i ±
√
3
2
e ±
√
3
2
i ± 1
2
4. (x, y) = (3, 4), (3,−4) 6. 1
8. 2004 soluções 9. a = 6, b = 1, c = 198 10. a = 1, b = 4,
c = 52 11. 6
√
18 12. S = 1 +
(
1− i
2
)
n 13. E 14. B 15.
B 16. E 17. A = {i} 18. C 19. D 20. A 21. E 22. 1
5
23. D 25. z ∈
{
±
√
2
3
,±i
√
2
}
28. D 29. B 31. E 33.
697 34. −1
2
±
√
3
2
i 35. 3 36. A
6
	Números Complexos
	Representação algébrica dos Números Complexos
	Propriedades da adição
	Propriedades da multiplicação
	Conjugado
	Valor Absoluto ou Módulo
	Potências do número i