27. (IME 1987) Seja uma hipérbole equilátera de centro O e focos F e F’ Mostre que o segmento determinado por O e por um ponto M qualquer da hipérb...

Para demonstrar que o segmento OM é média proporcional entre os segmentos MF e MF', podemos utilizar a definição de hipérbole equilátera, que é aquela em que a distância do centro O aos focos F e F' é igual a "a", a medida do lado reto da hipérbole. Assim, temos que OF = OF' = a. Seja P o ponto de interseção da reta que passa por M e pelos focos F e F' com a reta que passa por O e por M. Temos que: - MP é perpendicular a FF', pois FF' é eixo da hipérbole; - OP é perpendicular a MM', pois O é centro da hipérbole. Dessa forma, temos que o triângulo MPO é retângulo em P. Além disso, temos que: - MF + MF' = 2a, pois a soma das distâncias de um ponto qualquer da hipérbole aos focos é igual a 2a; - MP = MF + MF', pois P é o ponto em que a reta que passa por M e pelos focos intersecta a hipérbole. Assim, temos que: - MP = MF + MF' = 2a; - OM = OP - MP = a - MF - MF'; - MF' = 2a - MF. Substituindo MF' na equação de OM, temos: OM = a - MF - (2a - MF) = MF - a. Portanto, temos que OM é média proporcional entre MF e MF', pois: - OM² = (MF - a)² = MF² - 2aMF + a²; - MF * MF' = MF * (2a - MF) = 2aMF - MF². Assim, temos que OM² = MF * MF', o que mostra que OM é média proporcional entre MF e MF'.