29. (IME) Por um ponto M qualquer de uma hipérbole (h) , traça-se uma paralela a uma assíntota (a) de (h) : essa paralela encontra uma diretriz (d...

Seja H(x,y) um ponto qualquer da hipérbole (h) de equação $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, onde a e b são os semi-eixos da hipérbole. Seja A(a,0) uma assíntota de (h) e P(x',y') o ponto de interseção da reta que passa por H e é paralela a A com a outra assíntota de (h), que chamaremos de B(-a,0). A equação da reta que passa por H e é paralela a A é dada por: $\frac{y-y'}{x-x'}=\frac{0-y'}{a-x'}$ $\frac{y}{x'}-\frac{y'}{x'}=-\frac{y'}{a-x'}$ $\frac{y}{x'}+\frac{y'}{a-x'}=1$ Como a reta é paralela a A, temos que $y'=0$, logo: $\frac{y}{x'}=\frac{a-x'}{a}$ $y=\frac{a-x'}{a}x'$ Substituindo y em $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, temos: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(\frac{a-x'}{a}x')^2}{b^2}=1$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(a-x')^2}{a^2}\frac{x'^2}{b^2}=1$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(a^2-2ax'+x'^2)}{a^2}\frac{x'^2}{b^2}=1$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{x'^2}{b^2}+\frac{2ax'}{a^2}\frac{x'^2}{b^2}-\frac{x'^4}{a^2b^2}=1$ $\frac{(bx')^2-(ax)^2}{a^2b^2}=1$ $(bx')^2-(ax)^2=a^2b^2$ $(bx')^2=(ax)^2+a^2b^2$ $\frac{(bx')^2}{a^2}-\frac{(ax)^2}{a^2}=b^2$ $\frac{x'^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ Logo, o ponto P(x',0) pertence à hipérbole (h). Como a reta que passa por H e é paralela a A é perpendicular à diretriz d de (h), temos que D é o ponto de interseção dessa reta com d. A distância de H a d é igual a |y|, logo: $MD=|y'|+|y|=|y|$ Como a reta que passa por H e é paralela a A é perpendicular à diretriz d, temos que F é o ponto de interseção dessa reta com a reta que passa por H e é perpendicular a A. A equação da reta que passa por H e é perpendicular a A é dada por: $\frac{y}{x'}=-\frac{a}{b^2}$ $y=-\frac{a}{b^2}x'$ Substituindo y em $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, temos: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{(-\frac{a}{b^2}x')^2}{b^2}=1$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{a^2}{b^4}x'^2=1$ $x'^2=\frac{b^4}{a^2}(\frac{x^2}{a^2}-1)$ $x'=\pm\frac{b^2}{a}\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$ Como a reta que passa por H e é paralela a A é paralela a BP, temos que: $\frac{x'-(-a)}{y'-0}=\frac{x'-x'}{y'-y'}$ $\frac{x'+a}{y'}=1$ $x'+a=y'$ Substituindo x' em $x'=\pm\frac{b^2}{a}\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$, temos: $x'=\pm\frac{b^2}{a}\sqrt{\frac{(a+y')^2}{a^2}-1}$ $x'=\pm\frac{b^2}{a}\sqrt{\frac{(a+x'+a)^2}{a^2}-1}$ $x'=\pm\frac{b^2}{a}\sqrt{\frac{(2a+x')^2}{a^2}-1}$ $(x')^2=\frac{b^4}{a^2}(\frac{(2a+x')^2}{a^2}-1)$ $(x')^2=\frac{b^4}{a^2}(\frac{4a^2+4ax'+(x')^2}{a^2}-1)$ $(x')^2=\frac{b^4}{a^2}(\frac{4ax'}{a^2}+(x')^2)$ $(x')^2-\frac{4b^2}{a^2}x'+\frac{4b^4}{a^2}=0$ $x'=\frac{2b^2}{a}\pm\sqrt{\frac{4b^4}{a^2}-\frac{4b^4}{a^2}}$ $x'=\frac{2b^2}{a}$ Logo, P está sobre a circunferência de centro F e raio a. Como MD=|y|, temos que MD é a distância de H a d, que é igual à distância de H a F, logo: $MD=MF$