40. (Fuvest 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: ????(????) = ????????????2( 5 + 2 ????????????(????????)), 0 ≤ ???? ≤ 2, em que ???? é medido em horas e ????(????) é medido em ????3. A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0, 2] ocorre no instante a) ???? = 0,4 b) ???? = 0,5 c) ???? = 1 d) ???? = 1,5 e) ???? = 2
Respostas
Ed 
há 2 anos
Para encontrar o instante em que a pressão máxima do gás ocorre, é necessário calcular a derivada da função que descreve o volume do gás em relação ao tempo e igualá-la a zero. Isso ocorre porque a pressão é diretamente proporcional à temperatura e inversamente proporcional ao volume, mantendo a temperatura constante. Assim, temos: V(t) = 2(5 + 2t^3), 0 ≤ t ≤ 2 dV/dt = 12t^2 Igualando a derivada a zero, temos: 12t^2 = 0 t = 0 ou t = 0,5 ou t = 1 ou t = 1,5 ou t = 2 Agora, para determinar qual desses valores de t corresponde ao instante em que a pressão máxima ocorre, é necessário calcular a segunda derivada da função e verificar seu sinal. Se a segunda derivada for negativa, o ponto crítico é um máximo. Se for positiva, é um mínimo. Se for zero, é um ponto de inflexão. Assim, temos: d²V/dt² = 24t Substituindo os valores de t encontrados anteriormente, temos: d²V/dt²(0) = 0 (ponto de inflexão) d²V/dt²(0,5) = 12 (máximo) d²V/dt²(1) = 24 (mínimo) d²V/dt²(1,5) = 36 (máximo) d²V/dt²(2) = 48 (mínimo) Portanto, a pressão máxima ocorre no instante t = 0,5. A alternativa correta é a letra b).
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c) ????(????) = 88 ????????????( ????) + 168
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d) ????(????) = 2 ???????????? 2????
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