20. Ache todos os valores reais de a , tais que as equações x 2− (2a +1)x +a = 0 e x 2+ (a −4)x +a −1= 0 tenham raízes x1, x2 e x3, x4, respectivam...
20. Ache todos os valores reais de a , tais que as equações
x 2− (2a +1)x +a = 0 e x 2+ (a −4)x +a −1= 0
tenham raízes x1, x2 e x3, x4, respectivamente e
x1
x3
+
x4
x2
=
x1 x4(x1+ x2+ x3+ x4)
a.
x 2− (2a +1)x +a = 0 e x 2+ (a −4)x +a −1= 0
tenham raízes x1, x2 e x3, x4, respectivamente e
x1
x3
+
x4
x2
=
x1 x4(x1+ x2+ x3+ x4)
a.
💡 1 Resposta
Ed 
Para que as equações tenham as raízes x1, x2, x3 e x4, respectivamente, é necessário que: x1 + x2 = 2a + 1 x3 + x4 = 4 - a x1x2 = a x3x4 = a - 1 x1x3 + x4x2 = x1x4(x1 + x2 + x3 + x4) Substituindo x1x2 por a e x3x4 por a - 1 na última equação, temos: x1x3 + x4x2 = a(x1 + x2 + x3 + x4) Substituindo x1 + x2 por 2a + 1 e x3 + x4 por 4 - a, temos: x1x3 + x4x2 = a(2a + 1 + 4 - a) x1x3 + x4x2 = 2a² + 3a Substituindo x1x3 por a - 1 e x4x2 por a na equação acima, temos: a - 1 + a = 2a² + 3a 2a² - a - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima, temos: a = (1 ± √9) / 4 a1 = (1 + √9) / 4 = 1 a2 = (1 - √9) / 4 = -1/2 Portanto, os valores reais de a são a1 = 1 e a2 = -1/2.
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