32. Considere o trinômio do segundo grau p (x ) = x 2− x +1. (a) Determine o número de soluções reais distintas da equação p (x 2) = x 2, isto é, (...

(a) Para determinar o número de soluções reais distintas da equação p(x²) = x², basta substituir p(x) por x² na equação e resolver: (x²)² - x² + 1 = x² x⁴ - x² + 1 - x² = 0 x⁴ - 2x² + 1 = 0 Fazendo a substituição y = x², temos: y² - 2y + 1 = 0 (y - 1)² = 0 y = 1 Substituindo y por x², temos: x² = 1 x = ±1 Portanto, a equação p(x²) = x² tem duas soluções reais distintas: x = 1 e x = -1. (b) Para determinar o número de soluções reais distintas da equação p(p(x)) = p(x), basta substituir p(x) por x² - x + 1 na equação e resolver: p(p(x)) = p(x) p(x² - x + 1) = x² - x + 1 Substituindo p(x) por x² - x + 1, temos: (x² - x + 1)² - (x² - x + 1) + 1 = x² - x + 1 x⁴ - 3x³ + 4x² - 3x + 2 = x² - x + 1 x⁴ - 3x³ + 3x² - 2x = 0 x(x³ - 3x² + 3x - 2) = 0 x = 0 ou x³ - 3x² + 3x - 2 = 0 A equação x³ - 3x² + 3x - 2 = 0 pode ser resolvida por meio de aproximações sucessivas ou pelo método de Cardano. O resultado é que ela tem uma única solução real, aproximadamente x = 2,09. Portanto, a equação p(p(x)) = p(x) tem duas soluções reais distintas: x = 0 e x ≈ 2,09.