32. Considere o trinômio do segundo grau p (x ) = x 2− x +1.
(a) Determine o número de soluções reais distintas da equação p (x 2) = x 2, isto é,
(x 2)2− (x 2)+1= x 2.
(b) Determine o número de soluções reais distintas da equação
p (p (x )) = p (x ).

Question

32. Considere o trinômio do segundo grau p (x ) = x 2− x +1.
(a) Determine o número de soluções reais distintas da equação p (x 2) = x 2, isto é,
(...

Ed · Answer

(a) Para determinar o número de soluções reais distintas da equação p(x²) = x², basta substituir p(x) por x² na equação e resolver:
(x²)² - x² + 1 = x²
x⁴ - x² + 1 - x² = 0
x⁴ - 2x² + 1 = 0
Fazendo a substituição y = x², temos:
y² - 2y + 1 = 0
(y - 1)² = 0
y = 1
Substituindo y por x², temos:
x² = 1
x = ±1
Portanto, a equação p(x²) = x² tem duas soluções reais distintas: x = 1 e x = -1.

(b) Para determinar o número de soluções reais distintas da equação p(p(x)) = p(x), basta substituir p(x) por x² - x + 1 na equação e resolver:
p(p(x)) = p(x)
p(x² - x + 1) = x² - x + 1
Substituindo p(x) por x² - x + 1, temos:
(x² - x + 1)² - (x² - x + 1) + 1 = x² - x + 1
x⁴ - 3x³ + 4x² - 3x + 2 = x² - x + 1
x⁴ - 3x³ + 3x² - 2x = 0
x(x³ - 3x² + 3x - 2) = 0
x = 0 ou x³ - 3x² + 3x - 2 = 0
A equação x³ - 3x² + 3x - 2 = 0 pode ser resolvida por meio de aproximações sucessivas ou pelo método de Cardano. O resultado é que ela tem uma única solução real, aproximadamente x = 2,09. Portanto, a equação p(p(x)) = p(x) tem duas soluções reais distintas: x = 0 e x ≈ 2,09.

Matemática

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6. Determine o maior valor inteiro de n para o qual a equação

1
x −1
− 1
n x
+
1
x +1
= 0
possui soluções reais.

7. Resolva a equação
1
3x −1
+
1
4x −1
+
1
7x −1
= 1.

8. Determine todas as soluções reais da equação
(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) = 360.

9. Se a é uma raiz da equação x 2−3x +1= 0, determine o valor de
2a 5−5a 4+2a 3−8a 2
a 2+1
.

10. Para quais valores de b as equações 1988x 2+b x +8891= 0 e 8891x 2+b x +1988= 0
possuem uma raiz comum?

11. Se p e q são primos e x 2−p x +q = 0 tem raízes inteiras distintas, ache p e q .

12. Sendo x1 e x2 as raízes da equação (x − 1)2− k (2x − 3) = 0, demonstre que o produto
�
x1−
3
2
�
·
�
x2−
3
2
�
é independente de k .

14. Dada a equação x 2+(m −15)x +m = 0, determine os valores que m deve tomar para
que as duas raízes da equação sejam números inteiros.

15. Seja a um número inteiro positivo ímpar. Determine a de modo que a equação x 2−
a x +4a = 0 tenha as duas raízes inteiras.

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6. Determine o maior valor inteiro de n para o qual a equação1x −1− 1n x+1x +1= 0possui soluções reais.

7. Resolva a equação13x −1+14x −1+17x −1= 1.

8. Determine todas as soluções reais da equação(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) = 360.

9. Se a é uma raiz da equação x 2−3x +1= 0, determine o valor de2a 5−5a 4+2a 3−8a 2a 2+1.

10. Para quais valores de b as equações 1988x 2+b x +8891= 0 e 8891x 2+b x +1988= 0possuem uma raiz comum?

11. Se p e q são primos e x 2−p x +q = 0 tem raízes inteiras distintas, ache p e q .

12. Sendo x1 e x2 as raízes da equação (x − 1)2− k (2x − 3) = 0, demonstre que o produto�x1−32�·�x2−32�é independente de k .

14. Dada a equação x 2+(m −15)x +m = 0, determine os valores que m deve tomar paraque as duas raízes da equação sejam números inteiros.

15. Seja a um número inteiro positivo ímpar. Determine a de modo que a equação x 2−a x +4a = 0 tenha as duas raízes inteiras.

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1
x −1
− 1
n x
+
1
x +1
= 0
possui soluções reais.

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1
3x −1
+
1
4x −1
+
1
7x −1
= 1.

8. Determine todas as soluções reais da equação
(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) = 360.

9. Se a é uma raiz da equação x 2−3x +1= 0, determine o valor de
2a 5−5a 4+2a 3−8a 2
a 2+1
.

10. Para quais valores de b as equações 1988x 2+b x +8891= 0 e 8891x 2+b x +1988= 0
possuem uma raiz comum?

12. Sendo x1 e x2 as raízes da equação (x − 1)2− k (2x − 3) = 0, demonstre que o produto
�
x1−
3
2
�
·
�
x2−
3
2
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é independente de k .

14. Dada a equação x 2+(m −15)x +m = 0, determine os valores que m deve tomar para
que as duas raízes da equação sejam números inteiros.

15. Seja a um número inteiro positivo ímpar. Determine a de modo que a equação x 2−
a x +4a = 0 tenha as duas raízes inteiras.