1ª Lista de Exercícios

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE - DMAI
Campus Prof. Alberto Carvalho
Disciplina: Matema´tica ba´sica
Professora: Cristiele de Santana Lima Semestre letivo: 2017.2
1a Lista de Exerc´ıcios
1. Fac¸a uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da func¸a˜o nos nu´meros
dados (com precisa˜o de seis casas decimais). Em seguida, encontre o limite informando as propriedades
usadas.
(a) lim
x→2
x2 − 2x
x2 − x− 2 ; x = 2, 5; 2, 1; 2, 05; 2, 01; 2, 005; 2, 001; 1, 9; 1, 95; 1, 99; 1, 995; 1, 999.
(b) lim
x→0
ex − 1− x
x2
; x = ±1;±0, 5;±0, 1;±0, 05;±0, 01.
2. Considere f(x) =
√
3 + x−√3
x
.
(a) Utilize uma tabela de valores de f(x) para estimar o lim
x→0
f(x) com quatro casas decimais.
(b) Use as Propriedades dos limites para encontrar o valor exato do limite.
3. Calcule o limite, se existir.
(a) lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2 (b) limx→−4
x2 + 5x + 4
x2 + 3x− 4 (c) limt→−3
t2 − 9
2t2 + 7t + 3
(d) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
(e) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1 (f)limt→9
9− t
3−√t
(g) lim
x→7
√
x + 2− 3
x− 7 (h)limt→0
(
1
t
+
1
t(t− 1)
)
(i)lim
t→0
(
1
t
√
1 + t
− 1
t
)
(j) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
(k) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3 (l) limh→0
√
a + h−√a
h
(m) lim
x→1
(x− 1)5
x5 − 1 (n) limx→1
√
x2 − 3x + 3−√x2 + 3x− 3
x2 − 3x + 2 (o) limx→−1
3−√x2 + x + 9
x3 + 1
(p) lim
h→0
(x + h)4 − x4
h
(q) lim
x→1
x3 − 3x2 + 6x− 4
x3 − 4x2 + 8x− 5 (r) limx→2
√
6− x− 2√
3− x− 1
4. Se lim
x→1
f(x)− 8
x− 1 = 10, encontre limx→1 f(x).
5. Se lim
x→a{f(x) + g(x)} = 2 e limx→a{f(x)− g(x)} = 1, calcule limx→a{f(x).g(x)}.
6. Existe um nu´mero a ∈ R tal que
lim
x→−2
3x2 + ax + a + 3
x2 + x− 2
exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
7. Mostre que se lim
x→0
f(x)
x
= L e b 6= 0 enta˜o lim
x→0
f(bx)
x
= bL.
1
8. A func¸a˜o maior inteiro e´ definida por f(x) = [x], onde [x] = max{n ∈ Z/n ≤ x}, ou seja, [x] = n
se n ≤ x < n + 1 onde n e´ inteiro.
(a) Esboce o gra´fico de f .
(b) Calcule:
(i) lim
x→−2+
[x], (ii) lim
x→−2−
[x], (iii) lim
x→3/2
[x]
(c) Se n for um inteiro, calcule
(i) lim
x→n−
[x], (ii) lim
x→n+
[n]
(d) Para quais valores de a, lim
x→a[x] existe? Justifique.
9. Dada a func¸a˜o f(x) =

2x− a, se x < −3
ax + 2b, se− 3 ≤ x ≤ 3
b− 5x, se 3 < x
. Ache os valores de a e b, tais que existam os
limites: lim
x→−3
f(x) e lim
x→3
f(x)
10. Dada a func¸a˜o g(x) =
x2 − 1
| x− 1 | .Fac¸a um esboc¸o do gra´fico e calcule os limites: limx→1− g(x) e limx→1+ g(x).
conclua se o lim
x→1
g(x) existe, se na˜o existir, indique a raza˜o.
11. Se 4x− 9 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x + 7 para x ≥ 0, encontre lim
x→4
f(x)
12. Demonstre que lim
x→0+
√
xesin(
pi
x ) = 0.
13. Calcule o lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
nos seguintes casos
a)f(x) = x3 b)f(x) =
√
x, x > 0 f(x) = xn
Bom desempenho!
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