41. (OBM 2003) A figura abaixo mostra duas retas paralelas r e s. A reta r é tangente às circunferências C1 e C3, a reta s é tangente às circunferê...

Para encontrar o raio da circunferência C3, podemos utilizar a relação de Pitágoras e a semelhança de triângulos. Seja x o raio da circunferência C3. Temos que: AB = a + b BC = b - a AC = x + a + b Pela relação de Pitágoras no triângulo ABC, temos: (AC)² = (AB)² + (BC)² (x + a + b)² = (a + b)² + (b - a)² x² + 2ax + 2bx + a² + 2ab + b² = a² + 2ab + b² + b² - 2ab + a² x² + 2ax + 2bx = 2b² x² + 2(a + b)x - 2b² = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x = [-2(a + b) ± √(4(a + b)² + 8b²)]/2 x = -(a + b) ± √[(a + b)² + 2b²] x = -(a + b) ± √(a² + 2ab + b² + 2b²) x = -(a + b) ± √(a² + 2ab + 3b²) Como o raio não pode ser negativo, temos: x = -(a + b) + √(a² + 2ab + 3b²) Portanto, a alternativa correta é a letra E) 2b - a.