7. (Fuvest 2002) Na figura, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semicircunferência de centro A e raio AB = AC = AD = R. A diagonal AC forma com ...

Para calcular a área do quadrilátero ABCD, podemos dividi-lo em dois triângulos: ABD e ABC. O triângulo ABD é isósceles, pois AB = AD. Portanto, o ângulo α é igual a (180° - β)/2. Usando a lei dos senos no triângulo ABC, temos: sin(α) = BC / 2R sin(β) = BC / 2R Multiplicando as duas equações, temos: sin(α) sin(β) = (BC / 2R)² Substituindo BC por 2R sin(α) e 2R sin(β), temos: sin(α) sin(β) = sin(α)² sin(β)² Dividindo ambos os lados por sin(α)² sin(β)², temos: 1 = (sin(α) / sin(β))² Portanto, temos: sin(α) / sin(β) = 1 sin(α) = sin(β) Usando a lei dos cossenos no triângulo ABD, temos: BD² = AB² + AD² - 2AB.AD cos(α) BD² = 2R² - 2R² cos(α) BD = 2R sen(α) Substituindo sen(α) por sen(β), temos: BD = 2R sen(β) A área do triângulo ABD é: Area_ABD = (AB x AD x sen(α)) / 2 Area_ABD = (R² sen(α)² sen(β)) / 2 Area_ABD = (R² sen(β)² sen(α)) / 2 A área do triângulo ABC é: Area_ABC = (AB x BC x sen(α)) / 2 Area_ABC = (R² sen(α) sen(β)) / 2 A área do quadrilátero ABCD é a soma das áreas dos triângulos ABD e ABC: Area_ABCD = Area_ABD + Area_ABC Area_ABCD = (R² sen(β)² sen(α) + R² sen(α) sen(β)) / 2 Area_ABCD = R² sen(α) sen(β) (sen(α) + sen(β)) / 2 Substituindo sen(α) por sen(β), temos: Area_ABCD = R² sen²(β) (2 sen(β)) / 2 Area_ABCD = R² sen³(β) Portanto, a área do quadrilátero ABCD é R² sen³(β). A resposta correta é a letra E.