IME: 1. (IME – 64) A parte real de um número complexo é x 2 2 e a parte imaginária 2x . Determine o valor mínimo do módulo desse complexo.

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Vamos resolver a questão utilizando a fórmula do módulo de um número complexo: |módulo| = √(parte real² + parte imaginária²) Temos que a parte real é x - 2√2 e a parte imaginária é 2x. Substituindo na fórmula, temos: |módulo| = √[(x - 2√2)² + (2x)²] Simplificando: |módulo| = √[x² - 4√2x + 8 + 4x²] |módulo| = √[5x² - 4√2x + 8] Para encontrar o valor mínimo do módulo, precisamos encontrar o valor mínimo da expressão dentro da raiz quadrada. Para isso, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara: Δ = b² - 4ac Δ = (-4√2)² - 4.5.8 Δ = 64 - 160 Δ = -96 Como Δ é negativo, a expressão dentro da raiz quadrada não tem valor mínimo, pois sempre será positiva. Portanto, o valor mínimo do módulo é zero, que ocorre quando a parte real e a parte imaginária são iguais a zero.

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(ITA-1974) A equação nx  1 0 , onde n é um número natural maior do que 5, tem:
a) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas quando n é par.
b) 1 raiz positiva, (n – 1) raízes não reais quando n é par.
c) 1 raiz negativa, (n – 1) raízes complexas quando n é ímpar.
d) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas quando n é um número natural qualquer.
e) nda

(ITA-1974) Seja zk um número complexo, solução da equação: z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z = 0. Podemos afirmar que:
a) Todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 estão sobre uma circunferência.
b) Todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 estão sobre uma reta paralela ao eixo real.
c) Todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário.
d) a equação não admite solução
e) nda

(ITA-1975) Se z1, z2, z3, z4 e z5 são as raízes da equação z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z = 0, e se Re(z) indica a parte real de z então podemos afirmar que:
a) Re(zk) = 0 para x = 1, 2, 3 e Re(zi) = 1, para i = 4, 5.
b) Re(zk) = - ½ para x = 1, 2, 3, 4, 5.
c) z1, z2, z3, z4, z5 são números reais (não-complexos).
d) Re(zk) = 2, para k = 1, 2, 3 e Re(zi) = 0, para i = 4, 5.
e) nda

(ITA-1975) Se z1 e z2 são números complexos tais que z1 + z2 e z1.z2 são ambos reais. Então podemos afirmar que:
a) z1 e z2 são ambos reais ou z1 = z2.
b) z1 e z2 são números complexos não-reais.
c) z1 e z2 são números reais irracionais.
d) z1 é um número complexo puro e z2 é um número real.
e) nda

(ITA-1976) Suponhamos que z1 = a + xi e z2 = a + yi, a  0, x  0 são dois números complexos, tais que z1 . z2 = 2. Então temos:
a) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
b) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
c) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
d) z1 + z2 = 2a and a^2 + y^2 = 4
e) nda

(ITA-1978) O lugar geométrico, no plano complexo, representado pela equação: z z z z z z k      0 0 0 , onde k é um número real positivo e l (z0)2 l > k, é:
a) uma hipérbole com centro em z0.
b) uma elipse com um dos focos em z0.
c) uma circunferência com centro em z0.
d) uma parábola com vértice em z0.
e) nda

(ITA-1978) Seja z um número complexo. Se z z + 1 é um número real, então podemos afirmar com certeza que:
a) z  0 e Re(z)  0.
b) Im(z) = 0 ou l z l = 1
c) z é real.
d) z^2 = -1
e) nda

(ITA-1979) Estudando a equação z^5 + z^3 + 2z = 1 no plano complexo, podemos afirmar que:
a) a equação possui todas as raízes imaginárias, situadas numa circunferência de raio 1.
b) a equação possui 4 raízes imaginárias situadas uma em cada quadrante.
c) a equação possui 2 raízes imaginárias, uma no 1o quadrante e uma no 4o quadrante.
d) a equação possui 4 raízes imaginárias, duas no 2o quadrante e outras duas no 3o quadrante.
e) A equação possui 4 raízes imaginárias, sendo duas no 1o quadrante e outras duas no 4o quadrante.

(ITA-1980) Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento . Se n é um número inteiro positivo, n z + 1 é igual a :
a) cos (n)
b) 2 cos (n)
c) sen (n)
d) 2 sen (n)
e) sen (n) + cos (n)

(ITA-1981) Sejam a e k constantes reais, sendo a > 0 e 0 < k < 1. De todos os números complexos z que satisfazem a relação z - ai - ak < 0, qual é o de menor argumento?
a) z = (a - 2k) + (a - 2k)i
b) z = (a - 2k) - (a - 2k)i
c) z = (a - k) - (a - k)i
d) z = (a - k) + (a - k)i
e) z = a + ki

Matemática

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(ITA-1976) Suponhamos que z1 = a + xi e z2 = a + yi, a  0, x  0 são dois números complexos, tais que z1 . z2 = 2. Então temos:
a) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
b) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
c) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
d) z1 + z2 = 2a and a^2 + y^2 = 4
e) nda

(ITA-1978) Seja z um número complexo. Se z z + 1 é um número real, então podemos afirmar com certeza que:
a) z  0 e Re(z)  0.
b) Im(z) = 0 ou l z l = 1
c) z é real.
d) z^2 = -1
e) nda

(ITA-1980) Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento . Se n é um número inteiro positivo, n z + 1 é igual a :
a) cos (n)
b) 2 cos (n)
c) sen (n)
d) 2 sen (n)
e) sen (n) + cos (n)

(ITA-1981) Sejam a e k constantes reais, sendo a > 0 e 0 < k < 1. De todos os números complexos z que satisfazem a relação z - ai - ak < 0, qual é o de menor argumento?
a) z = (a - 2k) + (a - 2k)i
b) z = (a - 2k) - (a - 2k)i
c) z = (a - k) - (a - k)i
d) z = (a - k) + (a - k)i
e) z = a + ki

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(ITA-1976) Suponhamos que z1 = a + xi e z2 = a + yi, a  0, x  0 são dois números complexos, tais que z1 . z2 = 2. Então temos:a) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2b) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2c) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2d) z1 + z2 = 2a and a^2 + y^2 = 4e) nda

(ITA-1978) Seja z um número complexo. Se z z + 1 é um número real, então podemos afirmar com certeza que:a) z  0 e Re(z)  0.b) Im(z) = 0 ou l z l = 1c) z é real.d) z^2 = -1e) nda

(ITA-1980) Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento . Se n é um número inteiro positivo, n z + 1 é igual a :a) cos (n)b) 2 cos (n)c) sen (n)d) 2 sen (n)e) sen (n) + cos (n)

(ITA-1981) Sejam a e k constantes reais, sendo a > 0 e 0 < k < 1. De todos os números complexos z que satisfazem a relação z - ai - ak < 0, qual é o de menor argumento?a) z = (a - 2k) + (a - 2k)ib) z = (a - 2k) - (a - 2k)ic) z = (a - k) - (a - k)id) z = (a - k) + (a - k)ie) z = a + ki

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(ITA-1976) Suponhamos que z1 = a + xi e z2 = a + yi, a  0, x  0 são dois números complexos, tais que z1 . z2 = 2. Então temos:
a) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
b) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
c) z1/z2 = 1 and z1^2 + z2^2 = 2
d) z1 + z2 = 2a and a^2 + y^2 = 4
e) nda

(ITA-1978) Seja z um número complexo. Se z z + 1 é um número real, então podemos afirmar com certeza que:
a) z  0 e Re(z)  0.
b) Im(z) = 0 ou l z l = 1
c) z é real.
d) z^2 = -1
e) nda

(ITA-1980) Seja z um número complexo de módulo 1 e argumento . Se n é um número inteiro positivo, n z + 1 é igual a :
a) cos (n)
b) 2 cos (n)
c) sen (n)
d) 2 sen (n)
e) sen (n) + cos (n)

(ITA-1981) Sejam a e k constantes reais, sendo a > 0 e 0 < k < 1. De todos os números complexos z que satisfazem a relação z - ai - ak < 0, qual é o de menor argumento?
a) z = (a - 2k) + (a - 2k)i
b) z = (a - 2k) - (a - 2k)i
c) z = (a - k) - (a - k)i
d) z = (a - k) + (a - k)i
e) z = a + ki